Sejam a, b in R e considere os seguintes elementos do espaço vetorial P3(R) :
p1(x)=1+2 x+x^3, p2(x)=x+x^2-x^3, p3(x)=a+x+b x^2+5 x^3
Se p3(x) in[p1(x), p2(x)], então a+b é igual a

Passo 1

O enunciado dá os polinômios
p1(x)=1+2x+x^3, p2(x)=x+x^2-x^3, p3(x)=a+x+bx^2+5x^3
e pede a+b sob a condição de que p3 pertence ao subespaço gerado por p1 e p2, ou seja, existe combinação linear
p3(x)=alpha,p1(x)+beta,p2(x)

Passo 2

Escrevemos a combinação e coletamos coeficientes de 1,x,x^2,x^3:
alpha(1+2x+x^3)+beta(x+x^2 -x^3) =alpha + (2alpha+beta)x + beta,x^2 + (alpha-beta)x^3

Passo 3

Igualando aos coeficientes de p3(x)=a +1cdot x + b,x^2 +5,x^3, obtemos o sistema
alpha = a 2alpha + beta = 1 beta = b alpha - beta = 5

Passo 4

Das duas últimas equações temos alpha-beta=5 e 2alpha+beta=1. Somando-as:
3alpha = 6 Rightarrow alpha = 2
Como beta=b e alpha-beta=5, segue 2 - b = 5, logo b=-3. E a=alpha=2.

Resposta

a+b = 2 + (-3) = -1

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