Sejam v1, v2, v3 os vetores-linha e w1, w2, w3 os vetores-coluna da matriz [lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9].
(iii) Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9
cuja linhas são v1,v2,v3in R^3 e cujas colunas são w1,w2,w3in R^3. Precisamos mostrar que
Row(A)=spanv1,v2,v3 e Col(A)=spanw1,w2,w3
são o mesmo subespaço de R^3. Para isso vamos usar dependência linear e achar a equação do plano gerado.

Passo 2

Mostramos primeiro que as linhas são linearmente dependentes e geram um plano. Note que
v3 ;=;(7,8,9);=;2,(4,5,6);-;(1,2,3);=;2,v2 - v1
Logo
Row(A)=spanv1,v2,
que tem dimensão 2. Para achar um vetor normal a esse plano, resolvemos
n=(a,b,c), ncdot v1 = a+2b+3c=0, ncdot v2 = 4a+5b+6c=0
Dessas equações vem a=c e b=-2c, então podemos tomar
n=(1,-2,1)
Isso mostra
Row(A) =(x,y,z)in R^3mid (1,-2,1)cdot(x,y,z)=0 =(x,y,z)mid x-2y+z=0

Passo 3

Agora as colunas também são dependentes:
w3 = (3,6,9) = 2,(2,5,8) - (1,4,7) = 2,w2 - w1,
então
Col(A)=spanw1,w2,
com dimensão 2. Um vetor normal ao plano gerado por w1,w2 é dado pelo produto vetorial:
w1times w2 =(1,4,7)times(2,5,8) =(-3,6,-3),
que é múltiplo escalar de (1,-2,1). Assim
Col(A) =(x,y,z)mid (1,-2,1)cdot(x,y,z)=0 =(x,y,z)mid x-2y+z=0

Passo 4

Vimos que tanto Row(A) quanto Col(A) são o mesmo plano
(x,y,z)in R^3mid x-2y+z=0
Portanto os vetores-linha e os vetores-coluna geram exatamente o mesmo subespaço.

Resposta

spanv1,v2,v3 = spanw1,w2,w3 = (x,y,z)in R^3mid x-2y+z=0

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