Sejam
os vetores-linha e
os vetores-coluna da matriz
.
(iii) Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço.
(iii) Conclua que os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz dada geram o mesmo subespaço.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
cuja linhas são
v1,v2,v3in R^3 e cujas colunas são
w1,w2,w3in R^3 . Precisamos mostrar que
são o mesmo subespaço de
R^3 . Para isso vamos usar dependência linear e achar a equação do plano gerado.
Passo 2
Mostramos primeiro que as linhas são linearmente dependentes e geram um plano. Note que
Logo
que tem dimensão 2. Para achar um vetor normal a esse plano, resolvemos
Dessas equações vem
a=c e
b=-2c , então podemos tomar
Isso mostra
Passo 3
Agora as colunas também são dependentes:
então
com dimensão 2. Um vetor normal ao plano gerado por
w1,w2 é dado pelo produto vetorial:
que é múltiplo escalar de
(1,-2,1) . Assim
Passo 4
Vimos que tanto
Row(A) quanto
Col(A) são o mesmo plano
Portanto os vetores-linha e os vetores-coluna geram exatamente o mesmo subespaço.