Sejam os vetores-linha e os vetores-coluna da matriz .
(v) É possível encontrar uma matriz 3 times 3 tal que a dimensão do espaço gerado pelos vetores-linha é diferente da dimensão do espaço gerado pelos vetores-colunas? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se é possível ter uma matriz 3 times 3 onde a dimensão do espaço gerado pelos vetores-linha é diferente da dimensão do espaço gerado pelos vetores-coluna. Pra resolver isso, vamos precisar entender sobre espaço gerado (ou espaço vetorial) e dimensão desses espaços, que estão relacionados ao posto da matriz. O posto de uma matriz é igual à dimensão tanto do espaço das linhas quanto do espaço das colunas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço gerado pelos vetores-linha é o conjunto de todas as combinações lineares das linhas da matriz. A dimensão desse espaço é o número de vetores-linha que são linearmente independentes, ou seja, que não podem ser escritos como combinação das outras linhas.
Passo 3
Do mesmo jeito, o espaço gerado pelos vetores-coluna é o conjunto de todas as combinações lineares das colunas da matriz. A dimensão desse espaço também é o número de vetores-coluna que são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, o posto de uma matriz é definido como a dimensão do seu espaço de linhas ou do seu espaço de colunas. E uma propriedade importante das matrizes é que o posto das linhas é sempre igual ao posto das colunas. Isso significa que a dimensão do espaço gerado pelas linhas é igual à dimensão do espaço gerado pelas colunas.
Passo 5
Aplicando isso à nossa questão, seja qual for a matriz 3 times 3 que a gente pegar, o posto das linhas vai ser sempre igual ao posto das colunas. Portanto, a dimensão do espaço gerado pelos vetores-linha será sempre a mesma da dimensão do espaço gerado pelos vetores-coluna.
Resposta
Não, não é possível encontrar uma matriz 3 times 3 onde a dimensão do espaço gerado pelos vetores-linha seja diferente da dimensão do espaço gerado pelos vetores-coluna, porque o posto das linhas e das colunas de uma matriz sempre são iguais.