Em cada um dos itens abaixo encontre a soluçăo geral da equação diferencial.
(1+x^2) d yd x-x y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: (1 + x^2) dydx - x y = 0. A matéria que vamos usar aqui é a de equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e aplicar o fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação no formato padrão de uma equação diferencial linear, que é dydx + P(x)y = Q(x). Para isso, dividimos todos os termos por (1 + x^2):
dydx - x1 + x^2 y = 0

Passo 3

Agora, identificamos as funções P(x) e Q(x) na equação. Aqui, temos:
P(x) = -x1 + x^2 e Q(x) = 0

Passo 4

Vamos calcular o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -x1 + x^2 dx
Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Seja u = 1 + x^2, então du = 2x dx, ou seja, x dx = du2. A integral fica:
integral -x1 + x^2 dx = -12 integral duu = -12 ln|u| + C = -12 ln(1 + x^2) + C
Portanto, o fator integrante é:
mu(x) = e^-12 ln(1 + x^2) = (1 + x^2)^-12

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante mu(x):
(1 + x^2)^-12 dydx - x(1 + x^2)^32 y = 0

Passo 6

Observamos que o lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto de mu(x) e y. Ou seja:
ddx[(1 + x^2)^-12 y] = 0

Passo 7

Integramos ambos os lados em relação a x:
(1 + x^2)^-12 y = C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C raiz1 + x^2

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