Resolva a EDO x^2 y^prime+2 x y-y^3=0, para x>0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
x^2y'+2xy - y^3=0,
no domínio x>0. Aqui identificamos que se trata de uma EDO da forma de Bernoulli, pois podemos escrever em termos de y', y e y^3.

Passo 2

Reescrevendo a EDO em forma padrão de Bernoulli:
x^2y' +2xy = y^3 Longrightarrow y' + 2xy = 1x^2,y^3
Esta é da forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n,
com P(x)=tfrac2x, Q(x)=tfrac1x^2 e n=3.

Passo 3

Na equação de Bernoulli, fazemos a transformação
z = y^1-n = y^-2
Calculamos z' em função de y e y':
z' = -2,y^-3y'
Substituindo y' da EDO original em termos de z, obtemos uma EDO linear para z:
y' = -12y^3z',
logo, a equação
y' + 2xy = 1x^2y^3
passa a ser
-12y^3z' + 2xy = 1x^2y^3
Dividindo por y^3 (que não é zero) e multiplicando por -2:
z' - 4xz = -2x^2

Passo 4

Resolvemos a EDO linear
z' - 4xz = -2x^2
usando fator integrante mu(x)=e^integral -4/x,dx=x^-4. Multiplicando ambos os lados por mu,
(x^-4z)' = -2,x^-6
Integramos em x:
x^-4z = integral -2,x^-6,dx = 25,x^-5 + C,
portanto
z = 25,x^-5cdot x^4 + C,x^4 = 25,x^-1 + C,x^4

Passo 5

Voltando à variável y, lembramos que z=y^-2. Assim,
y^-2 = C,x^4 + 25,x^-1
Invertendo,
y^2 = 1C,x^4 + tfrac25,x^-1,
que pode ser reescrita, por exemplo, multiplicando numerador e denominador por x,
y^2 = xC,x^5 + tfrac25

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = pm raizxC,x^5 + tfrac25,
onde C é constante arbitrária e x>0.

Exercícios relacionados