Resolva a EDO
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
no domínio
. Aqui identificamos que se trata de uma EDO da forma de Bernoulli, pois podemos escrever em termos de
,
e
.
Passo 2
Reescrevendo a EDO em forma padrão de Bernoulli:
Esta é da forma
com
,
e
.
Passo 3
Na equação de Bernoulli, fazemos a transformação
Calculamos
em função de
e
:
Substituindo
da EDO original em termos de
, obtemos uma EDO linear para
:
logo, a equação
passa a ser
Dividindo por
(que não é zero) e multiplicando por
:
Passo 4
Resolvemos a EDO linear
usando fator integrante
. Multiplicando ambos os lados por
,
Integramos em
:
portanto
Passo 5
Voltando à variável
, lembramos que
. Assim,
Invertendo,
que pode ser reescrita, por exemplo, multiplicando numerador e denominador por
,
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é constante arbitrária e
.