Encontre um fator integrante e resolva a equação diferencial y^prime=e^2 x+y-1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^2x + y - 1
que é uma equação linear no formato dfracdydx+P(x)y=Q(x). Vamos usar o método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem.

Passo 2

Reescrevendo em forma padrão, isolamos y' e colocamos todos os termos com y no lado esquerdo:
dydx - y = e^2x - 1,
ou seja, aqui P(x)=-1 e Q(x)=e^2x-1.

Passo 3

O fator integrante mu(x) é dado por
mu(x)=expl(integral P(x),dxr)=expl(integral -1,dxr)=e^-x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=e^-x:
e^-xdydx-e^-xy=e^-x(e^2x-1)=e^x - e^-x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto mu(x),y, ou seja,
ddxl(e^-xyr)=e^x - e^-x
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^-xy),dx = integral l(e^x - e^-xr),dx ;;Longrightarrow;; e^-xy = integral e^x,dx - integral e^-x,dx + C = e^x + e^-x + C

Passo 5

Isolamos y multiplicando por e^x:
y = e^xl(e^x + e^-x + Cr) = e^2x + 1 + C,e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x)=e^2x+1+Ce^x,
onde C é a constante de integração.

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