Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
x d yd x+(x+1) y=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,dydx + (x+1),y = e^2x
O conteúdo é “equação diferencial linear de primeira ordem” e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos em forma padrão dydx + P(x),y = Q(x) dividindo tudo por x (supondo xneq0):
dydx + l(1 + 1xr)y = e^2xx

Passo 3

Calculamos o fator integrante
mu(x) = expl(integrall(1+tfrac1xr),dxr) = expl(x + ln xr) = x,e^x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x):
x e^x,dydx + x e^xl(1+tfrac1xr)y = x e^xcdote^2xx Longrightarrow ddxl(x e^x yr) = e^3x
Integrando ambos os lados em relação a x:
x e^x y = integral e^3x,dx = 13e^3x + C

Passo 5

Isolando y:
y = tfrac13e^3x + Cx e^x = 13,e^3xx e^x + Cx e^x = e^2x3x + C,e^-xx

Resposta

y(x) = e^2x3x + C,e^-xx

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