Resolva cada uma das seguintes equações diferenciais.
(2 xy-yx^2+y^2) d x+(xx^2+y^2-x^2y^2) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(2xy-yx^2+y^2r),dx +l(xx^2+y^2-x^2y^2r),dy=0
e pede a solução geral. Vamos reconhecer que isso é uma forma diferencial M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 e verificar se é exata, pois aí basta encontrar uma função potencial phi(x,y) tal que phix=M e phiy=N.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
M(x,y)=2xy-yx^2+y^2, N(x,y)=xx^2+y^2-x^2y^2
Computamos
partial Mpartial y =-2xy^2 +x^2-y^2(x^2+y^2)^2,
partial Npartial x =y^2-x^2(x^2+y^2)^2 -2xy^2 ;=; -2xy^2 +x^2-y^2(x^2+y^2)^2
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a forma é exata.

Passo 3

Buscamos phi(x,y) tal que phix=M. Integramos M em relação a x,
phi(x,y) =integrall(2xy-yx^2+y^2r),dx =x^2y -integralyx^2+y^2,dx =x^2y-arctan!l(tfracxyr) +h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 4

Agora impomos phiy=N. Calculamos
phiy =-x^2y^2 +ddyl[-arctan!l(tfracxyr)r] +h'(y) =-x^2y^2 +xx^2+y^2 +h'(y)
Igualando a N=xx^2+y^2-x^2y^2 obtemos h'(y)=0, logo h(y) é constante.

Passo 5

Portanto a solução implícita fica
phi(x,y) =x^2y-arctan!l(tfracxyr) =C,
que é a família de curvas solução da equação diferencial.

Resposta

x^2y-arctan!l(tfracxyr)=C

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