Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços U+W e U cap W, onde U e W são subespaços do espaço vetorial V indicado.
U=[lla & 0 0 & b] in M2(R): a, b in R ; W=[ll0 & c 0 & d] in M2(R): c, d in R ; V= M2(R).

Passo 1

O enunciado dá dois subespaços de V=M2(R):
U=la&00&bcolon a,binRr, W=l0&c0&dcolon c,dinRr
Queremos encontrar
Ucap W=Xin Vmid Xin U e Xin W,
U+W=U+Wmid Uin U,;Win W

Passo 2

Para Xin Ucap W escrevemos
X=a&00&b e X=0&c0&d
Igualando entradas obtemos
a=0, 0=c e b=d livre. Logo
Ucap W =l0&00&bcolon binRr

Passo 3

Para uin U e win W temos
u=a&00&b, w=0&c0&d,
logo
u+w =a&c0&b+d
Definindo x=a, y=c, z=b+d (todos em R), vemos que qualquer tripla (x,y,z) aparece, então
U+W =lx&y0&zcolon x,y,zinRr

Resposta

Ucap W=l0&00&bcolon binRr
U+W=lx&y0&zcolon x,y,zinRr

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