Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto
com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre
.
, com as operações usuais de funções.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto
, que é formado por todas as funções pares
(ou seja,
para todo
), com as operações usuais de funções, é um espaço vetorial sobre os números reais
. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos checar se
satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os axiomas de um espaço vetorial. Basicamente, são um conjunto de regras que as operações de adição e multiplicação por escalar devem obedecer. São eles:
- Fechamento por adição: A soma de quaisquer dois vetores em
também está em . - Fechamento por multiplicação por escalar: A multiplicação de qualquer vetor em
por um escalar resulta em um vetor que também está em . - Existência do vetor zero: Existe um vetor zero em
que, somado a qualquer vetor, não altera o vetor. - Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em
, existe outro vetor que, somado a ele, resulta no vetor zero. - Comutatividade da adição: A ordem da soma de dois vetores não altera o resultado.
- Associatividade da adição: A maneira como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
- Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
- Compatibilidade da multiplicação de escalares.
- Existência de identidade multiplicativa: Multiplicar um vetor por 1 não altera o vetor.
Nos próximos passos, a gente vai verificar cada um desses axiomas para o conjunto
.
Passo 3
1. Fechamento por Adição
Vamos pegar duas funções pares
e
em
. Ou seja,
e
para todo
.
Agora, vamos somar essas funções:
.
Queremos ver se
também é par:
Então,
é uma função par e está em
. A fecho por adição está ok.
Passo 4
2. Fechamento por Multiplicação por Escalar
Vamos pegar uma função par
em
e um escalar
.
Multiplicando a função pelo escalar:
.
Vamos verificar se
também é par:
Então,
é uma função par e está em
. A fecho por multiplicação por escalar está ok.
Passo 5
3. Existência do Vetor Zero
O vetor zero em
seria a função que, para todo
, é zero:
.
Vamos conferir se essa função é par:
Então, o vetor zero está em
. A existência do vetor zero está ok.
Passo 6
4. Existência de Inversos Aditivos
Para qualquer função
em
, precisamos encontrar uma função
tal que
.
Definimos
. Vamos verificar se
é par:
Então,
também está em
. A existência de inversos aditivos está ok.
Passo 7
5. Comutatividade da Adição
Para quaisquer
, queremos verificar se
.
Bem, pelas operações usuais de funções:
Então,
. Comutatividade está ok.
Passo 8
6. Associatividade da Adição
Para quaisquer
, queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Então,
. Associatividade está ok.
Passo 9
7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Para
e
, queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Então,
. Distributividade está ok.
Passo 10
8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Para
e
, queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Então,
. Distributividade está ok.
Passo 11
9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Para
e
, queremos ver se
.
Calculando cada lado:
Então,
. Compatibilidade está ok.
Passo 12
10. Existência da Identidade Multiplicativa
Queremos ver se
para todo
.
Calculando:
Então,
. Identidade multiplicativa está ok.
Resposta
Sim, o conjunto
com as operações usuais de funções é um espaço vetorial sobre
.