Verifique, em cada um dos itens abaixo, se o conjunto V com as operações indicadas é um espaço vetorial sobre R.
V=f: R R: f(x)=f(-x), forall x in R, com as operações usuais de funções.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se o conjunto V , que é formado por todas as funções pares f: R R (ou seja, f(x) = f(-x) para todo x ), com as operações usuais de funções, é um espaço vetorial sobre os números reais R . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos checar se V satisfaz todos os axiomas necessários para ser um espaço vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os axiomas de um espaço vetorial. Basicamente, são um conjunto de regras que as operações de adição e multiplicação por escalar devem obedecer. São eles:
  1. Fechamento por adição: A soma de quaisquer dois vetores em V também está em V .
  2. Fechamento por multiplicação por escalar: A multiplicação de qualquer vetor em V por um escalar resulta em um vetor que também está em V .
  3. Existência do vetor zero: Existe um vetor zero em V que, somado a qualquer vetor, não altera o vetor.
  4. Existência de inversos aditivos: Para cada vetor em V , existe outro vetor que, somado a ele, resulta no vetor zero.
  5. Comutatividade da adição: A ordem da soma de dois vetores não altera o resultado.
  6. Associatividade da adição: A maneira como os vetores são agrupados na soma não altera o resultado.
  7. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de vetores.
  8. Distributividade da multiplicação por escalar em relação à adição de escalares.
  9. Compatibilidade da multiplicação de escalares.
  10. Existência de identidade multiplicativa: Multiplicar um vetor por 1 não altera o vetor.
Nos próximos passos, a gente vai verificar cada um desses axiomas para o conjunto V .

Passo 3

1. Fechamento por Adição
Vamos pegar duas funções pares f e g em V . Ou seja, f(x) = f(-x) e g(x) = g(-x) para todo x .
Agora, vamos somar essas funções: (f + g)(x) = f(x) + g(x) .
Queremos ver se f + g também é par:
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) = (f + g)(x)
Então, f + g é uma função par e está em V . A fecho por adição está ok.

Passo 4

2. Fechamento por Multiplicação por Escalar
Vamos pegar uma função par f em V e um escalar c in R .
Multiplicando a função pelo escalar: (c cdot f)(x) = c cdot f(x) .
Vamos verificar se c cdot f também é par:
(c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot f(x) = (c cdot f)(x)
Então, c cdot f é uma função par e está em V . A fecho por multiplicação por escalar está ok.

Passo 5

3. Existência do Vetor Zero
O vetor zero em V seria a função que, para todo x , é zero: 0(x) = 0 .
Vamos conferir se essa função é par:
0(-x) = 0 = 0(x)
Então, o vetor zero está em V . A existência do vetor zero está ok.

Passo 6

4. Existência de Inversos Aditivos
Para qualquer função f em V , precisamos encontrar uma função -f tal que f + (-f) = 0 .
Definimos (-f)(x) = -f(x) . Vamos verificar se -f é par:
(-f)(-x) = -f(-x) = -f(x) = (-f)(x)
Então, -f também está em V . A existência de inversos aditivos está ok.

Passo 7

5. Comutatividade da Adição
Para quaisquer f, g in V , queremos verificar se f + g = g + f .
Bem, pelas operações usuais de funções:
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g + f)(x)
Então, f + g = g + f . Comutatividade está ok.

Passo 8

6. Associatividade da Adição
Para quaisquer f, g, h in V , queremos ver se (f + g) + h = f + (g + h) .
Calculando cada lado:
((f + g) + h)(x) = (f + g)(x) + h(x) = f(x) + g(x) + h(x)
(f + (g + h))(x) = f(x) + (g + h)(x) = f(x) + g(x) + h(x)
Então, (f + g) + h = f + (g + h) . Associatividade está ok.

Passo 9

7. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Vetores
Para c in R e f, g in V , queremos ver se c cdot (f + g) = c cdot f + c cdot g .
Calculando cada lado:
c cdot (f + g)(x) = c cdot (f(x) + g(x)) = c cdot f(x) + c cdot g(x) = (c cdot f + c cdot g)(x)
Então, c cdot (f + g) = c cdot f + c cdot g . Distributividade está ok.

Passo 10

8. Distributividade da Multiplicação por Escalar em Relação à Adição de Escalares
Para c, d in R e f in V , queremos ver se (c + d) cdot f = c cdot f + d cdot f .
Calculando cada lado:
(c + d) cdot f(x) = (c + d) cdot f(x) = c cdot f(x) + d cdot f(x) = (c cdot f + d cdot f)(x)
Então, (c + d) cdot f = c cdot f + d cdot f . Distributividade está ok.

Passo 11

9. Compatibilidade da Multiplicação de Escalares
Para c, d in R e f in V , queremos ver se c cdot (d cdot f) = (c cdot d) cdot f .
Calculando cada lado:
c cdot (d cdot f)(x) = c cdot (d cdot f(x)) = (c cdot d) cdot f(x) = ((c cdot d) cdot f)(x)
Então, c cdot (d cdot f) = (c cdot d) cdot f . Compatibilidade está ok.

Passo 12

10. Existência da Identidade Multiplicativa
Queremos ver se 1 cdot f = f para todo f in V .
Calculando:
1 cdot f(x) = 1 cdot f(x) = f(x)
Então, 1 cdot f = f . Identidade multiplicativa está ok.

Resposta

Sim, o conjunto V com as operações usuais de funções é um espaço vetorial sobre R .

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