Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se W é subespaço vetorial de V e u, v in V são tais que u notin W e v notin W, então u+v notin W.
(b) Se W é subespaço vetorial de V, u in V e alpha neq 0 são tais que u notin W, então alpha u notin W.
(c) Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V W1 cup W2 é subespaço de V se, e somente se, W1 subset W2 ou W2 subset W1.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos três afirmações sobre subespaços vetoriais:
– em (a) se dois vetores estão fora de W, seu soma também estaria fora;
– em (b) se um vetor está fora de W, seu múltiplo escalar (com alphaneq0) também estaria fora;
– em (c) sob que condição a união de dois subespaços W1 e W2 é um subespaço.
Para resolver vamos usar as propriedades de fechamento de subespaço sob soma e multiplicação escalar, e, quando necessário, apresentar contraexemplo.

Passo 2

Item (a): “Se W é subespaço de V e u,vnotin W, então u+vnotin W.”
Isso é falso. Contraexemplo em V=R^2 tomando
W=(x,0)mid xinR!, u=(1,1), v=(1,-1)
Aqui unotin W e vnotin W, mas
u+v=(1,1)+(1,-1)=(2,0)in W
Logo a afirmação cai.

Passo 3

Item (b): “Se W é subespaço de V, unotin W e alphaneq0, então alpha unotin W.”
Isso é verdadeiro. Prova: suponha, por contradição, que alpha uin W. Como W é subespaço, ele é fechado por multiplicação escalar, então
alpha^-1(alpha u)=uin W,
contradizendo unotin W. Logo alpha unotin W.

Passo 4

Item (c): “ W1cup W2 é subespaço de V se, e somente se, W1subset W2 ou W2subset W1.”
( Rightarrow) Suponha que W1cup W2 seja subespaço. Se nenhum contém o outro, existem
w1in W1setminus W2, w2in W2setminus W1
Como a união é subespaço ela fecha soma, logo w1+w2in W1cup W2. Se, digamos, w1+w2in W1, então
w2=(w1+w2)-w1in W1,
contradição. Mesma coisa se w1+w2in W2. Logo deve existir inclusão entre W1 e W2.
( Leftarrow) Se W1subset W2, então W1cup W2=W2, que é subespaço. Análogo se W2subset W1.

Resposta

(a) Falsa. Contraexemplo em R^2 com W=(x,0), u=(1,1), v=(1,-1).
(b) Verdadeira. Prova por fechamento escalar de subespaço.
(c) Verdadeira. Demonstração das duas direções conforme acima.

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