Determine, em cada um dos itens abaixo, se a afirmação é verdadeira ou falsa. Caso seja verdadeira, prove-a e, caso seja falsa, exiba um contraexemplo.
(a) Se
é subespaço vetorial de
e
são tais que
e
, então
.
(b) Se
é subespaço vetorial de
e
são tais que
, então
.
(c) Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.
(a) Se
(b) Se
(c) Sejam
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos três afirmações sobre subespaços vetoriais:
– em (a) se dois vetores estão fora de , seu soma também estaria fora;
– em (b) se um vetor está fora de , seu múltiplo escalar (com
) também estaria fora;
– em (c) sob que condição a união de dois subespaços e
é um subespaço.
Para resolver vamos usar as propriedades de fechamento de subespaço sob soma e multiplicação escalar, e, quando necessário, apresentar contraexemplo.
– em (a) se dois vetores estão fora de
– em (b) se um vetor está fora de
– em (c) sob que condição a união de dois subespaços
Para resolver vamos usar as propriedades de fechamento de subespaço sob soma e multiplicação escalar, e, quando necessário, apresentar contraexemplo.
Passo 2
Item (a): “Se
é subespaço de
e
, então
.”
Isso é falso. Contraexemplo em tomando
Isso é falso. Contraexemplo em
Aqui
e
, mas
Logo a afirmação cai.
Passo 3
Item (b): “Se
é subespaço de
,
e
, então
.”
Isso é verdadeiro. Prova: suponha, por contradição, que . Como
é subespaço, ele é fechado por multiplicação escalar, então
Isso é verdadeiro. Prova: suponha, por contradição, que
contradizendo
. Logo
.
Passo 4
Item (c): “
é subespaço de
se, e somente se,
ou
.”
( ) Suponha que
seja subespaço. Se nenhum contém o outro, existem
(
Como a união é subespaço ela fecha soma, logo
. Se, digamos,
, então
contradição. Mesma coisa se
. Logo deve existir inclusão entre
e
.
( ) Se
, então
, que é subespaço. Análogo se
.
(
Resposta
(a) Falsa. Contraexemplo em
com
,
,
.
(b) Verdadeira. Prova por fechamento escalar de subespaço.
(c) Verdadeira. Demonstração das duas direções conforme acima.
(b) Verdadeira. Prova por fechamento escalar de subespaço.
(c) Verdadeira. Demonstração das duas direções conforme acima.