Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços (U+W) e (U ∩ W), onde (U) e (W) são subespaços do espaço vetorial (V) indicado.
(U={p ∈ P₃(ℝ): p’’(t)=0, ∀t ∈ ℝ} ; W={q ∈ P₃(ℝ): q’(t)=0, ∀t ∈ ℝ} ; V= P₃(ℝ)).

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os subespaços
U+W e Ucap W de
V = P3(R),
onde
U = ,pin P3(R) : p''(t)=0,;forall tinR
e
W = ,qin P3(R) : q'(t)=0,;forall tinR
O conteúdo principal é caracterizar polinômios cuja segunda derivada é zero (grau <= 1) e cuja derivada é zero (constantes), para depois formar soma direta e interseção.

Passo 2

Caracterizamos U. Se pin U então p''(t)=0 como polinômio, logo p é de grau <=1. Escrevemos
p(t) = a,t + b,
com a,binR. Assim
U = ,a,t + b : a,binR,
que é o espaço dos polinômios de grau até um.

Passo 3

Caracterizamos W. Se qin W então q'(t)=0 para todo t, ou seja, q é constante. Logo
q(t) = c,
com cinR, e
W = ,c : cinR

Passo 4

Para achar U cap W precisamos dos polinômios que são simultaneamente de grau <=1 e constantes. Isso significa a,t + b com a=0. Logo
U cap W = ,b : binR,
ou seja, o próprio W.

Passo 5

Para U + W consideramos todas as somas
(a,t + b) + c = a,t + (b+c)
Como b+c também é um número real qualquer, o conjunto das somas é
U + W = ,a,t + d : a,dinR,
que coincide com U.

Resposta

U + W = ,a,t + b : a,binR U cap W = ,b : binR

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