Em cada um dos itens abaixo, encontre os subespaços (U+W) e (U ∩ W), onde (U) e (W) são subespaços do espaço vetorial (V) indicado.
(U={p ∈ P₃(ℝ): p’’(t)=0, ∀t ∈ ℝ} ; W={q ∈ P₃(ℝ): q’(t)=0, ∀t ∈ ℝ} ; V= P₃(ℝ)).
(U={p ∈ P₃(ℝ): p’’(t)=0, ∀t ∈ ℝ} ; W={q ∈ P₃(ℝ): q’(t)=0, ∀t ∈ ℝ} ; V= P₃(ℝ)).
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos os subespaços
e
de
,
onde
onde
e
O conteúdo principal é caracterizar polinômios cuja segunda derivada é zero (grau
) e cuja derivada é zero (constantes), para depois formar soma direta e interseção.
Passo 2
Caracterizamos
. Se
então
como polinômio, logo
é de grau
. Escrevemos
com
. Assim
que é o espaço dos polinômios de grau até um.
Passo 3
Caracterizamos
. Se
então
para todo
, ou seja,
é constante. Logo
com
, e
Passo 4
Para achar
precisamos dos polinômios que são simultaneamente de grau
e constantes. Isso significa
com
. Logo
ou seja, o próprio
.
Passo 5
Para
consideramos todas as somas
Como
também é um número real qualquer, o conjunto das somas é
que coincide com
.