Seja dada por . Prove que é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
d) Defina Transformação Linear sobrejetora.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a transformação linear definida por é um isomorfismo. Além disso, precisamos encontrar a inversa dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear sobrejetora e injetora, que são essenciais para mostrar que é bijetora (ou seja, é um isomorfismo). Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação linear entre dois espaços vetoriais é chamada de sobrejetora (ou sobre), se para todo vetor em , existe pelo menos um vetor em tal que . Em outras palavras, a imagem de cobre todo o espaço de chegada .
Passo 3
Agora, vamos verificar se a transformação dada é sobrejetora. Queremos mostrar que para todo vetor em , existe um vetor em tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema para encontrar x , y e z em termos de a , b e c .
Primeiro, somando as duas primeiras equações:
(x - y) + (x + y) = a + b implies 2x = a + b implies x = a + b2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x - y) - (x + y) = a - b implies -2y = a - b implies y = b - a2
E da terceira equação:
2z = c implies z = c2
Passo 5
Com esses valores de x , y e z , podemos definir a inversa de T , denotada por T^-1 , que mapeia (a, b, c) de volta para (x, y, z) . Assim, temos:
T^-1(a, b, c) = ( a + b2, b - a2, c2 )
Passo 6
Finalmente, já que conseguimos encontrar uma inversa T^-1 para a transformação T , isso significa que T é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Portanto, T é um isomorfismo.
Resposta
A transformação T é um isomorfismo e sua inversa é dada por: