Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2 z). Prove que T é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
d) Defina Transformação Linear sobrejetora.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para provar que a transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) é um isomorfismo. Além disso, precisamos encontrar a inversa dessa transformação. Para isso, vamos precisar entender conceitos como transformação linear sobrejetora e injetora, que são essenciais para mostrar que T é bijetora (ou seja, é um isomorfismo). Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que é uma transformação linear sobrejetora. Uma transformação linear T: V W entre dois espaços vetoriais é chamada de sobrejetora (ou sobre), se para todo vetor w em W , existe pelo menos um vetor v em V tal que T(v) = w . Em outras palavras, a imagem de T cobre todo o espaço de chegada W .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a transformação T dada é sobrejetora. Queremos mostrar que para todo vetor (a, b, c) em R^3 , existe um vetor (x, y, z) em R^3 tal que:
T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) = (a, b, c)
Isso nos dá o sistema de equações:
x - y = a x + y = b 2z = c

Passo 4

Vamos resolver esse sistema para encontrar x , y e z em termos de a , b e c .
Primeiro, somando as duas primeiras equações:
(x - y) + (x + y) = a + b implies 2x = a + b implies x = a + b2
Subtraindo a segunda equação da primeira:
(x - y) - (x + y) = a - b implies -2y = a - b implies y = b - a2
E da terceira equação:
2z = c implies z = c2

Passo 5

Com esses valores de x , y e z , podemos definir a inversa de T , denotada por T^-1 , que mapeia (a, b, c) de volta para (x, y, z) . Assim, temos:
T^-1(a, b, c) = ( a + b2, b - a2, c2 )

Passo 6

Finalmente, já que conseguimos encontrar uma inversa T^-1 para a transformação T , isso significa que T é bijetora (ou seja, injetora e sobrejetora). Portanto, T é um isomorfismo.

Resposta

A transformação T é um isomorfismo e sua inversa é dada por:
T^-1(a, b, c) = ( a + b2, b - a2, c2 )

Exercícios relacionados