Seja
dada por
. Prove que
é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
e) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem prove que
é sobrejetora e exiba teorema.
e) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear
definida por
. A gente precisa provar que essa transformação é um isomorfismo, ou seja, é bijetora (injetora e sobrejetora), e também encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que nos ajuda a entender quando uma transformação linear é sobrejetora. Vamos precisar lembrar o que são núcleo e imagem de uma transformação linear!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o Teorema do Núcleo e Imagem diz. Basicamente, para uma transformação linear
, a soma da dimensão do núcleo de
(os vetores que são mapeados para o zero) com a dimensão da imagem de
(todos os vetores que podem ser obtidos como
) é igual à dimensão do espaço de partida. Ou seja:
No nosso caso,
.
Passo 3
Vamos encontrar o núcleo de
. Precisamos resolver
:
Da terceira equação,
. Das duas primeiras, somando as equações:
Portanto,
, ou seja, a dimensão do núcleo é 0.
Passo 4
Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
Portanto,
. Como a imagem de
tem dimensão 3 e o espaço de chegada é
, isso significa que
é sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).
Resposta
Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, vimos que o núcleo de
é trivial (
) e que a dimensão da imagem de
é 3, igual à dimensão do espaço de chegada. Portanto,
é sobrejetora.