Seja T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x-y, x+y, 2 z). Prove que T é um isomorfismo e apresente sua inversa. Para isso siga o seguinte roteiro:
e) Usando o Teorema do Núcleo e Imagem prove que T é sobrejetora e exiba teorema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma transformação linear T: R^3 R^3 definida por T(x, y, z) = (x - y, x + y, 2z) . A gente precisa provar que essa transformação é um isomorfismo, ou seja, é bijetora (injetora e sobrejetora), e também encontrar a sua inversa. Para isso, vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem, que nos ajuda a entender quando uma transformação linear é sobrejetora. Vamos precisar lembrar o que são núcleo e imagem de uma transformação linear!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o Teorema do Núcleo e Imagem diz. Basicamente, para uma transformação linear T: R^n R^m , a soma da dimensão do núcleo de T (os vetores que são mapeados para o zero) com a dimensão da imagem de T (todos os vetores que podem ser obtidos como T(v) ) é igual à dimensão do espaço de partida. Ou seja:
dim(ker T) + dim(Im , T) = n
No nosso caso, n = 3 .

Passo 3

Vamos encontrar o núcleo de T . Precisamos resolver T(x, y, z) = (0, 0, 0) :
x - y = 0 x + y = 0 2z = 0
Da terceira equação, z = 0 . Das duas primeiras, somando as equações:
(x - y) + (x + y) = 2x = 0 Rightarrow x = 0 Então, de x - y = 0 Rightarrow y = 0 ã
Portanto, ker T = (0, 0, 0) , ou seja, a dimensão do núcleo é 0.

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema do Núcleo e Imagem:
dim(ker T) + dim(Im , T) = 0 + dim(Im , T) = 3
Portanto, dim(Im , T) = 3 . Como a imagem de T tem dimensão 3 e o espaço de chegada é R^3 , isso significa que T é sobrejetora (cobre todo o espaço de chegada).

Resposta

Usando o Teorema do Núcleo e Imagem, vimos que o núcleo de T é trivial ( dim(ker T) = 0 ) e que a dimensão da imagem de T é 3, igual à dimensão do espaço de chegada. Portanto, T é sobrejetora.

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