Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
T: R^3 longrightarrow R^2
(x, y, z) longrightarrow[rrr 2 & 1 & 3 -1 & 0 & -2 ][l x y z ]

Passo 1

O enunciado dá a transformação
O conteúdo aqui é “transformação linear”: devemos verificar se vale
  1. para todos (aditividade)
  2. para todo escalar e todo (homogeneidade).

Passo 2

Escrevendo u=(x1,y1,z1) e v=(x2,y2,z2), temos
T(u+v) = A,(u+v) = A,u + A,v = T(u) + T(v),
onde A é a matriz fixa dada no enunciado. A igualdade A(u+v)=Au+Av é uma propriedade básica da multiplicação matricial.

Passo 3

Para um escalar c e vetor u=(x,y,z), pela definição de multiplicação de matriz por escalar,
T(c,u) = A,(c,u) = c,(A,u) = c,T(u)
Isso mostra a homogeneidade exigida.

Resposta

A transformação T é linear.

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