Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de \lambda para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\\ y^{\prime}(0)=0, y^{\prime}(\pi)=0\end{array}\right..

Passo 1

O problema de valor de contorno é
y''+\lambda y=0,
com condições de contorno de Neumann
y'(0)=0,\quad y'(\pi)=0.
Este é um problema de autovalores (Sturm–Liouville) em que precisamos encontrar os valores de \lambda (autovalores) que admitem soluções não triviais (autofunções) satisfazendo as BC dadas.

Passo 2

Analisamos primeiro o caso \lambda<0. Escrevendo \lambda=-\alpha^2 com \alpha>0, a equação fica
y''-\alpha^2y=0,
cuja solução geral é
y(x)=C_1e^{\alpha x}+C_2e^{-\alpha x}.
Calculamos
y'(x)=\alpha\bigl(C_1e^{\alpha x}-C_2e^{-\alpha x}\bigr).
Impor y'(0)=0 C_1-C_2=0, ou seja C_1=C_2. Então
y(x)=C_1\bigl(e^{\alpha x}+e^{-\alpha x}\bigr)=2C_1\operatorname{cosh}(\alpha x).
Em seguida y'(\pi)=2C_1\alpha\operatorname{sinh}(\alpha\pi)=0 força C_1=0, levando apenas à solução trivial. Logo não há autovalores \lambda<0.

Passo 3

Agora o caso \lambda=0. A equação se reduz a
y''=0,
com solução geral
y(x)=Ax+B.
Aqui y'(x)=A. Impondo y'(0)=0 e y'(\pi)=0 obtemos A=0, ficando
y(x)=B,
que é não trivial para B\neq0. Concluímos que \lambda=0 é autovalor e as autofunções correspondentes são as constantes.

Passo 4

Por fim, o caso \lambda>0. Colocamos \lambda=\mu^2 com \mu>0. A equação torna-se
y''+\mu^2y=0,
e a solução geral é
y(x)=A\cos(\mu x)+B\sin(\mu x).
Calculamos
y'(x)=-A\mu\sin(\mu x)+B\mu\cos(\mu x).
A condição y'(0)=0 implica B\mu=0, e como \mu\neq0 segue B=0. Assim
y(x)=A\cos(\mu x).
Impondo y'(\pi)=0
y'(\pi)=-A\mu\sin(\mu\pi)=0\quad\Longrightarrow\quad\sin(\mu\pi)=0.
Isso exige \mu\pi=n\pi onde n\in\mathbb{Z}. Como \mu>0, tomamos n=1,2,3,\dots, de modo que
\mu=n,\qquad\lambda=\mu^2=n^2.
As autofunções associadas são
y_n(x)=\cos(nx),
com fator constante A\neq0.

Resposta

Os autovalores são
\lambda_n=n^2,\quad n=0,1,2,\dots,
e as soluções não triviais (autofunções) correspondentes são
y_n(x)=\cos(nx),
onde para n=0 temos a solução constante y_0(x)=1.

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