Em cada um dos itens abaixo encontre os valores de
para os quais o problema de valor de contorno tenha soluções não triviais e exiba essas soluções.
.
Passo 1
O problema de valor de contorno é
com condições de contorno de Neumann
Este é um problema de autovalores (Sturm–Liouville) em que precisamos encontrar os valores de
(autovalores) que admitem soluções não triviais (autofunções) satisfazendo as BC dadas.
Passo 2
Analisamos primeiro o caso
. Escrevendo
com
, a equação fica
cuja solução geral é
Calculamos
Impor
dá
, ou seja
. Então
Em seguida
força
, levando apenas à solução trivial. Logo não há autovalores
.
Passo 3
Agora o caso
. A equação se reduz a
com solução geral
Aqui
. Impondo
e
obtemos
, ficando
que é não trivial para
. Concluímos que
é autovalor e as autofunções correspondentes são as constantes.
Passo 4
Por fim, o caso
. Colocamos
com
. A equação torna-se
e a solução geral é
Calculamos
A condição
implica
, e como
segue
. Assim
Impondo
dá
Isso exige
onde
. Como
, tomamos
, de modo que
As autofunções associadas são
com fator constante
.
Resposta
Os autovalores são
e as soluções não triviais (autofunções) correspondentes são
onde para
temos a solução constante
.