Questão. ( 2,5 pts ) Calcule a derivada das funções.
(b) f(x)=\frac{e^{2 x}}{\frac{\cos 4 x}{x}}+x^{2} \ln \left(\operatorname{sen}^{2} x\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{e^{2x}}{\dfrac{\cos4x}{x}}+x^{2}\ln\bigl(\operatorname{sen}^{2}x\bigr).
Aqui vamos usar as regras de derivação de: produto, quociente e cadeia, além das derivadas conhecidas de e^{2x}, \cos4x, \ln u e \sin x.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a fração
\frac{e^{2x}}{\dfrac{\cos4x}{x}} =e^{2x}\,\frac{x}{\cos4x} =x\,e^{2x}\sec4x.
Logo podemos reescrever
f(x)=x\,e^{2x}\sec4x\;+\;x^{2}\ln\bigl(\sin^{2}x\bigr).

Passo 3

Derivada da primeira parcela g(x)=x\,e^{2x}\sec4x.
  1. Seja h(x)=x\,e^{2x}. Então
h'(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot2e^{2x}=e^{2x}+2x\,e^{2x}.
  1. A derivada de \sec4x é
(\sec4x)'=\sec4x\tan4x\cdot4=4\sec4x\tan4x.
Pela regra do produto,
g'(x)=h'(x)\sec4x+h(x)\cdot(4\sec4x\tan4x) =(e^{2x}+2x\,e^{2x})\sec4x+4x\,e^{2x}\sec4x\tan4x.

Passo 4

Derivada da segunda parcela k(x)=x^{2}\ln(\sin^{2}x).
Pela regra do produto,
k'(x)=2x\ln(\sin^{2}x)+x^{2}\,\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sin^{2}x)\bigr].
E
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(\sin^{2}x)\bigr] =\frac{1}{\sin^{2}x}\cdot2\sin x\cos x =\frac{2\sin x\cos x}{\sin^{2}x} =2\cot x.
Logo
k'(x)=2x\ln(\sin^{2}x)+2x^{2}\cot x.

Passo 5

Somando g'(x) e k'(x), obtemos
f'(x) =(e^{2x}+2x\,e^{2x})\sec4x+4x\,e^{2x}\sec4x\tan4x +2x\ln(\sin^{2}x)+2x^{2}\cot x.
Para deixar mais compacto, fatoramos e^{2x}\sec4x na parte exponencial:
f'(x) =e^{2x}\sec4x\bigl(1+2x+4x\tan4x\bigr) +2x\ln(\sin^{2}x)+2x^{2}\cot x.

Resposta

\displaystyle f'(x) =e^{2x}\sec4x\bigl(1+2x+4x\tan4x\bigr) +2x\ln(\sin^{2}x)+2x^{2}\cot x.

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