Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
P=\left[\begin{array}{lllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da matriz
P=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 4\\\\ 0 & 0 & 1 & 2 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
O conteúdo envolve matrizes triangulares e retro-substituição para encontrar P^{-1}.

Passo 2

Como P é triangular superior com todos os pivôs iguais a 1, ela é invertível e sua inversa X=P^{-1} também é triangular superior. Para determinar X usamos que
P\,x_j = e_j,\quad j=1,\dots,5,
onde x_j é a j-ésima coluna de X e e_j é o vetor canônico cujo único 1 está na posição j. Cada sistema é resolvido por retro-substituição.

Passo 3

Resolvendo P\,x_j=e_j para j=1,\dots,5 obtemos:
j=1: x_1=(1,0,0,0,0)^\top.
j=2: x_2=(-2,1,0,0,0)^\top.
j=3: x_3=(1,-2,1,0,0)^\top.
j=4: x_4=(0,1,-2,1,0)^\top.
j=5: x_5=(0,0,1,-2,1)^\top.
Portanto
P^{-1}=\bigl[x_1\;x_2\;x_3\;x_4\;x_5\bigr].

Resposta

P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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