Calcule a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
N=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 \\\\ 1 & -1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede a inversa da matriz
N = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}.
O assunto é inversão de matrizes e vamos usar eliminação de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada \bigl[N\mid I\bigr] e transformamos o bloco à esquerda em I, aplicando as mesmas operações ao bloco da direita, que então se torna N^{-1}.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vline & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & \vline & 0 & 1 & 0\\\\ 1 & -1 & 2 & \vline & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Eliminamos os elementos abaixo do pivô na coluna 1 usando
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1, \quad R_3 \leftarrow R_3 - R_1.
Fica
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \vline & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & \vline & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & -2 & 2 & \vline & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

O pivô em (2,2) já vale 1. Zeras as outras entradas da coluna 2:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 + 2R_2.
Resulta em
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & \vline & 3 & -1 & 0\\\\ 0 & 1 & 1 & \vline & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 4 & \vline & -5 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Escalonamos o pivô em (3,3) e zeramos acima dele:
R_3 \leftarrow \tfrac14 R_3, \quad R_1 \leftarrow R_1 + R_3, \quad R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Chegamos à forma
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \vline & \tfrac{7}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 1 & 0 & \vline & -\tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\\\ 0 & 0 & 1 & \vline & -\tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix},
logo o bloco à direita é N^{-1}.

Resposta

N^{-1} = \begin{pmatrix} \tfrac{7}{4} & -\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4}\\[6pt] -\tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{4}\\[4pt] -\tfrac{5}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{pmatrix}.]

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