Determine quais das séries geométricas convergem. Em caso de convergência, encontre a soma:
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{5}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}}\right)

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{5}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}}\Bigr)
que é a diferença de duas séries geométricas. Para uma série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}a\,r^{n}, sabemos que ela converge exatamente quando \lvert r\rvert<1 e, nesse caso, sua soma é
S = \frac{a}{1-r}.

Passo 2

Separemos a série dada em duas:
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5}{2^{n}} \quad\text{e}\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n}}.
Cada uma delas é geométrica com primeiro termo a e razão r dados a seguir.

Passo 3

Para \sum_{n=0}^{\infty}\frac{5}{2^{n}} temos a=5 e r=\tfrac12. Como \lvert\tfrac12\rvert<1, essa série converge e
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{5}{2^{n}} = \frac{5}{1-\tfrac12} = \frac{5}{\tfrac12} = 10.

Passo 4

Para \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} temos a=1 e r=\tfrac13. Como \lvert\tfrac13\rvert<1, essa série também converge e
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} = \frac{1}{1-\tfrac13} = \frac{1}{\tfrac23} = \frac32.

Passo 5

A série original é a diferença entre as duas somas:
\sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\frac{5}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}}\Bigr) = 10 - \frac32 = \frac{20}{2} - \frac{3}{2} = \frac{17}{2}.

Resposta

A série converge, e sua soma é \tfrac{17}{2}.

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