Em cada um dos itens abaixo, dê um exemplo, se possível de uma função f: D subset R R satisfazendo as condições dadas.
que seja contínua em R e com lim x +infty f(x)=lim x -infty=0.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolon RtoR que seja contínua em todo R e tal que
limxto+inftyf(x)=0 e limxto-inftyf(x)=0
O conteúdo usado será: composição de funções contínuas e cálculo de limites no infinito.

Passo 2

Definimos
f(x) = e^-x^2
Aqui usamos que a função xmapsto x^2 é contínua em R, o sinal negativo preserva a continuidade e a função exponencial tmapsto e^t também é contínua. Logo f é contínua em todo R.

Passo 3

Para xto+infty temos x^2to+infty, então -x^2to -infty e
limxto+inftyf(x) =limxto+inftye^-x^2 =e^-infty =0
De modo análogo, quando xto-infty também x^2to+infty, daí
limxto-inftyf(x) =e^-infty =0

Resposta

Um exemplo é
f(x) = e^-x^2,
que é contínua em R e satisfaz
limxto+inftyf(x)=limxto-inftyf(x)=0.

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