Quais das seguintes funções f têm uma descontinuidade removível em a ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função g que seja igual a f para x neq a e seja contínua em a.
f(x)=x^3-x^2-2 xx-2, a=2

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^3-x^2-2xx-2, a=2
e pergunta se há descontinuidade removível em x=2 e, em caso afirmativo, pedir uma extensão g que coincida com f para xneq2 e seja contínua em 2. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, limite de função racional e definição de descontinuidade removível.

Passo 2

Para xneq2 fatoramos o numerador:
x^3-x^2-2x = x,(x^2-x-2) = x,(x-2),(x+1)
Logo, para xneq2,
f(x)=x,(x-2),(x+1)x-2=x,(x+1)=x^2+x

Passo 3

Como para xneq2 temos f(x)=x^2+x, o limite quando xto2 é
limxto2f(x)=limxto2(x^2+x)=2^2+2=6
Isso mostra que o comportamento em torno de 2 é finito e corresponde a 6, mas f(2) não está definido. Logo, há uma descontinuidade removível.

Passo 4

Definimos a extensão contínua
g(x)= x^3-x^2-2xx-2,&xneq2, 6,&x=2,
ou, de maneira equivalente, notando que o simplificado é x^2+x, podemos tomar
g(x)=x^2+xforall x,
que coincide com f(x) para xneq2 e satisfaz g(2)=6, garantindo a continuidade em 2.

Resposta

A descontinuidade em
Alternativamente, .

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