Quais das seguintes funções têm uma descontinuidade removível em ? Se a descontinuidade for removível, encontre uma função que seja igual a para e seja contínua em .
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pergunta se há descontinuidade removível em e, em caso afirmativo, pedir uma extensão que coincida com para e seja contínua em . O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, limite de função racional e definição de descontinuidade removível.
Passo 2
Para fatoramos o numerador:
Logo, para ,
Passo 3
Como para temos , o limite quando é
Isso mostra que o comportamento em torno de é finito e corresponde a , mas não está definido. Logo, há uma descontinuidade removível.
Passo 4
Definimos a extensão contínua
ou, de maneira equivalente, notando que o simplificado é x^2+x, podemos tomar
g(x)=x^2+xforall x,
que coincide com f(x) para xneq2 e satisfaz g(2)=6, garantindo a continuidade em 2.