Em cada um dos itens abaixo, dê um exemplo, se possível de uma função f: D subset R R satisfazendo as condições dadas.
tal que lim x -1^- f(x)=-infty, lim x -1^+ f(x)=+infty, lim x 1^- f(x)=+infty e lim x 1^+ f(x)=-infty.

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon DsubsetRtoR que tenha assíntotas verticais em x=-1 e x=1 com os seguintes comportamentos:
limxto-1^-f(x)=-infty,
limxto-1^+f(x)=+infty,
limxto1^-f(x)=+infty e
limxto1^+f(x)=-infty.
O conteúdo aqui é escolher um denominador que zere em pm1 e analisar o sinal de f ao se aproximar desses pontos.

Passo 2

Uma escolha natural é
f(x)=11 - x^2,
com domínio
D = Rsetminus-1,,1
Note que o denominador 1-x^2=(1-x)(1+x) zera exatamente em x=-1 e em x=1.

Passo 3

Analisando xto -1:
Para x=-1-h com h>0 pequeno, temos
1 - x^2 = 1 - (-1-h)^2 = 1 - (1 +2h + h^2) = -2h - h^2 < 0,
logo f(x)=1/(1-x^2) é negativo e grande em módulo, o que dá
limxto -1^-f(x) = -infty
Para x=-1+h com 0<hll1,
1 - x^2 = 1 - (-1+h)^2 = 1 - (1 -2h + h^2) = 2h - h^2 > 0,
e então
limxto -1^+f(x) = +infty

Passo 4

Analisando xto 1:
Para x=1-h com h>0 pequeno,
1 - x^2 = 1 - (1-h)^2 = 1 - (1 -2h + h^2) = 2h - h^2 > 0,
logo
limxto1^-f(x) = +infty
Para x=1+h com 0<hll1,
1 - x^2 = 1 - (1+h)^2 = 1 - (1 +2h + h^2) = -2h - h^2 < 0,
e assim
limxto1^+f(x) = -infty

Resposta

Uma função que satisfaz todas as condições é
f(x)=11 - x^2, D=Rsetminus-1,1

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