Considere uma barra de comprimento L= 30,0 cm e de massa M=300 g pendurada pela sua extremidade. O ângulo com a vertical para baixo a um dado instante t é theta. Desconsidere forças dissipativas. O movimento começa em t=0 com theta=0,005 rad e d theta / d t= -0,030 rad / s. Use a aproximação de pequenas amplitudes. (a) Qual é o período de oscilação? (b) Qual é a amplitude de oscilação? (c) Qual é a energia mecânica do sistema? (d) Qual é a constante de fase da solução theta(t) propto cos (omega t+varphi0) ?
(e) Qual seria o tamanho do pêndulo simples que oscilaria com o mesmo período, supondo a mesma massa?

Passo 1

O enunciado descreve uma barra uniforme de massa M=0,300,kg e comprimento L=0,300,m, presa por uma de suas extremidades e oscilando com pequeno ângulo theta em relação à vertical. Em t=0 temos theta(0)=0,005,rad e dottheta(0)=-0,030,rad/s. Vamos tratar isso como um pêndulo físico em pequenas oscilações, usando o momento de inércia da barra em relação à extremidade, a equação Iddottheta+Mg(L/2)theta=0, e a solução harmônica theta(t)=Acos(omega t+varphi0).

Passo 2

O momento de inércia de uma barra uniforme em relação à extremidade é
I=13ML^2,
A equação de movimento linearizada dá
omega^2=Mg,(L/2)I =Mg,(L/2)tfrac13ML^2 =3g2L,
logo
omega=raiz3g2Lapprox7,0 rad/s
O período de oscilação é
T=2piomega =2piraiz2L3g approx0,90 s

Passo 3

Para encontrar a amplitude A usamos
A=raiztheta(0)^2+l(dottheta(0)/omegar)^2 =raiz(0,005)^2+l(-0,030/7,0r)^2 approx6,6times10^-3 rad

Passo 4

A energia mecânica total é
E=12Iomega^2A^2
Como I=tfrac13ML^2=0,009,k gcdot m^2, omega=7,0,rad/s e A=6,585times10^-3,rad, temos
Eapprox12times0,009times7,0^2times(6,585times10^-3)^2 approx9,6times10^-6 J

Passo 5

A fase inicial satisfaz
tanvarphi0=-dottheta(0)omega,theta(0) =0,0307,0times0,005approx0,857,
portanto
varphi0=arctan(0,857)approx0,71 rad

Passo 6

Para um pêndulo simples de mesmo período usamos
T=2piraizLeqg Longrightarrow Leq=g,T^24pi^2 approx0,20 m

Resposta

(a) Tapprox0,90 s
(b) Aapprox6,6times10^-3 rad
(c) Eapprox9,6times10^-6 J
(d) varphi0approx0,71 rad
(e) Leqapprox0,20 m

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