Em cada um dos itens abaixo, dê um exemplo, se possível de uma função f: D subset R R satisfazendo as condições dadas.
tal que lim x 0^- f(x)=-infty, lim x 0^+ f(x)=+infty, lim x -infty f(x)=-infty e lim x +infty f(x)=+infty.

Passo 1

O enunciado pede uma função fcolon DsubsetRtoR tal que
limxto0^-f(x)=-infty,
limxto0^+f(x)=+infty,
limxto-inftyf(x)=-infty e
limxto+inftyf(x)=+infty.
O conteúdo usado será o estudo de limites em assíntotas verticais (em x=0) e no infinito (domínio estendido).

Passo 2

Para ter um comportamento de assíntota vertical em x=0 com sinais opostos de cada lado, usamos o termo tfrac1x. Para garantir que nos infinitos a função tenda a pminfty, somamos um termo linear x. Assim, definimos
f(x)=x+1x, D=Rsetminus0

Passo 3

Verificando os limites em torno de 0:
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(x+1xr) =-infty,
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(x+1xr) =+infty

Passo 4

Verificando os limites no infinito, o termo x domina tfrac1x:
limxto-inftyf(x) =limxto-inftyl(x+1xr) =-infty,
limxto+inftyf(x) =limxto+inftyl(x+1xr) =+infty

Resposta

Uma escolha válida é
D=Rsetminus0, f(x)=x+1x,
que satisfaz todos os limites pedidos.

Exercícios relacionados