Em cada um dos itens abaixo, dê um exemplo, se possível de uma função f: D subset R R satisfazendo as condições dadas.
com assíntotas verticais em x=-1 e x=0 e com lim x +infty f(x)=lim x -infty f(x)=+infty.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função f:DsubsetRtoR que tenha assíntotas verticais em x=-1 e em x=0 e satisfaça
limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=+infty
Para isso vamos combinar um termo que diverge em x=0 e em x=-1 com um termo principal que cresce para +infty em ambas as pontas.

Passo 2

Definimos
f(x)=x^2+1x+1x+1,
com domínio
D=Rsetminus-1,0 =(-infty,-1)cup(-1,0)cup(0,infty)

Passo 3

Verificamos as assíntotas verticais:
  • Ao nos aproximarmos de x=0, o termo tfrac1x domina, fazendo f(x)topminfty.
  • Ao nos aproximarmos de x=-1, o termo tfrac1x+1 domina, fazendo f(x)topminfty.
    Em ambos os casos a função torna-se ilimitada, caracterizando assíntotas verticais em x=0 e x=-1.

Passo 4

Analisamos o comportamento em xtopminfty. Para lvert xrvert grande,
f(x)=x^2+1x+1x+1 =underbracex^2to+infty +underbraceOl(1/xr)to0
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limxto+inftyf(x)=+infty e limxto-inftyf(x)=+infty

Resposta

Um exemplo é
f(x)=x^2+1x+1x+1, D=Rsetminus-1,0,
que possui assíntotas verticais em x=-1 e x=0 e satisfaz limxtopminftyf(x)=+infty.

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