Em cada um dos itens abaixo, dê um exemplo, se possível de uma função f: D subset R R satisfazendo as condições dadas.
com assíntotas verticais em x=-1 e x=1 e lim x +infty f(x)=lim x -infty f(x)=12.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função fcolon DsubsetRtoR que tenha assíntotas verticais em x=-1 e x=1 e que satisfaça
limxto+inftyf(x)=limxto-inftyf(x)=tfrac12.
O conteúdo envolve definições de assíntotas verticais e horizontais e construção de funções racionais.

Passo 2

Uma assíntota vertical em x=a significa que
limxto a^-f(x)=pminfty ou limxto a^+f(x)=pminfty,
ou seja, em uma função racional o denominador se anula em a enquanto o numerador não se anula aí.

Passo 3

Uma assíntota horizontal em y=L significa que
limxto+inftyf(x)=L e limxto-inftyf(x)=L
Para uma função racional em que numerador e denominador têm o mesmo grau, esse limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 4

Para garantir assíntotas verticais em x=pm1, escolhemos um denominador com o fator
,x^2-1=(x-1)(x+1).
Para ter assíntota horizontal y=tfrac12, precisamos que os termos de maior grau no numerador e no denominador sejam ambos de grau 2 e que a razão de seus coeficientes seja tfrac12. Uma escolha simples é
f(x)=x^2+12,(x^2-1)

Passo 5

Verificações:
1. Em x=pm1 o denominador zera e o numerador vale 1^2+1=2neq0, logo
limxto1^pmf(x)=pminfty e limxto-1^pmf(x)=pminfty,
confirmando as assíntotas verticais.
2. Para xtopminfty, o termo dominante no numerador é x^2 e no denominador é 2,x^2, portanto
limxtopminftyf(x)=12

Resposta

f(x)=x^2+12,(x^2-1), D=Rsetminus-1,1

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