Sejam f(t)=t i+2 t^2 j+3 t^3 k e
g(t)=2 t i+j-3 t^2 k, t >= 0
Calcular:
lim t 0[f(t) times g(t)].

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais em t>=0:
vec f(t)=t,vec i+2t^2,vec j+3t^3,vec k e
vec g(t)=2t,vec i+vec j-3t^2,vec k.
Pede-se o limite
limtto0l[vec f(t)timesvec g(t)r]
Vamos usar a fórmula do produto vetorial e depois analisar o comportamento em tto0.

Passo 2

Recordando a fórmula em componentes, para
vec f(t)=(f1,f2,f3) e vec g(t)=(g1,g2,g3),
vec ftimesvec g =l(f2g3-f3g2r),vec i -l(f1g3-f3g1r),vec j +l(f1g2-f2g1r),vec k
Aqui f1=t, f2=2t^2, f3=3t^3 e g1=2t, g2=1, g3=-3t^2.

Passo 3

Calculemos cada componente:
(vec ftimesvec g)i &=f2g3-f3g2 =2t^2cdot(-3t^2)-3t^3cdot1 =-6t^4-3t^3, (vec ftimesvec g)j &=-l(f1g3-f3g1r) =-l(tcdot(-3t^2)-3t^3cdot2tr) =-l(-3t^3-6t^4r) =3t^3+6t^4, (vec ftimesvec g)k &=f1g2-f2g1 =tcdot1-2t^2cdot2t =t-4t^3
Então
vec f(t)timesvec g(t) =(-3t^3-6t^4),vec i+(3t^3+6t^4),vec j+(t-4t^3),vec k

Passo 4

Para tto0, cada parcela que multiplica vec i e vec j vai como t^3to0, e a de vec k vai como tto0. Logo
limtto0l[vec f(t)timesvec g(t)r] =(0),vec i+(0),vec j+(0),vec k =vec 0

Resposta

vec 0

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