Determine as constantes a e b que satisfazem as seguintes igualdades:
lim x 4 a x+braizx-2=8

Passo 1

O enunciado pede encontrar constantes a e b tais que
limx to 4 a x + braizx-2 = 8
Este problema envolve limite que naturalmente gera a forma indeterminada 0/0. Para resolver, vamos impor que o numerador zere em x=4 e depois simplificar por racionalização.

Passo 2

Para haver forma 0/0 em x=4, é preciso que
acdot4 + b = 0 Longrightarrow b = -4a

Passo 3

Substituindo b=-4a no numerador obtemos
a x + b = a x - 4a = a(x-4)
Como raizx-2 também zera em x=4, escrevemos
x-4 = (raizx-2)(raizx+2),
de modo que
a(x-4)raizx-2 = a (raizx-2)(raizx+2)raizx-2 = a(raizx+2)

Passo 4

Calculando o limite já simplificado,
limxto4a(raizx+2)=a,(2+2)=4a
Para que isso seja igual a 8, igualamos 4a=8, o que dá
a=2, b=-4a=-8

Resposta

a=2 e b=-8

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