Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
(1+x^2) y^3+(1-y^2) x^3 d yd x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
(1+x^2),y^3 ;+;(1-y^2),x^3,dydx=0
e pede para identificar o tipo e encontrar a solução geral. Aqui vamos usar o método de separação de variáveis, pois é uma equação separável.

Passo 2

Escrevemos em forma diferencial
(1+x^2),y^3,dx ;+;(1-y^2),x^3,dy = 0
e verificamos que podemos isolar os termos em x de um lado e em y do outro.

Passo 3

Reorganizando, temos
(1-y^2),y^-3,dy = -(1+x^2),x^-3,dx
Isto é,
1-y^2y^3,dy = -,1+x^2x^3,dx

Passo 4

Integramos cada membro:
integrall(y^-3-y^-1r),dy = integrall(-x^-3-x^-1r),dx
Calculemos as antiderivadas:
integral y^-3,dy = -12y^2, integral y^-1,dy = ln|y|,
integral x^-3,dx = -12x^2, integral x^-1,dx = ln|x|
Logo,
-12y^2 - ln|y| = 12x^2 - ln|x| + C

Passo 5

Reunindo termos e absorvendo constantes, uma forma mais simétrica da solução implícita é
lnl|xyr| ;+; 12x^2 ;+; 12y^2 = C',
onde C' é constante arbitrária.

Resposta

lnl|xyr| ;+; 12x^2 ;+; 12y^2 = C'

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