Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
y^2-1-(2 y+x y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado traz a equação diferencial de primeira ordem
y^2-1;-;(2y + x,y),y' ;=;0
e pede para identificar o tipo e encontrar a solução geral. Vamos usar a teoria de equações de variáveis separáveis.

Passo 2

Reescrevendo em forma explícita de derivada, temos
(2y + x,y),dydx ;=; y^2-1
ou seja
dydx ;=;y^2-1y,(x+2)
Isso mostra que é uma EDO de variáveis separáveis.

Passo 3

Separe as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e em x do outro:
yy^2-1,dy ;=;1x+2,dx

Passo 4

Agora integre cada lado:
integral yy^2-1,dy ;=;12lnl|y^2-1r|+C1,
integral 1x+2,dx ;=;lnl|x+2r|+C2
Igualando e absorvendo constantes, obtemos
12lnl|y^2-1r| ;=;lnl|x+2r|+C ;;Longrightarrow;; lnl|y^2-1r| ;=;lnl|(x+2)^2r|+C'
l|y^2-1r| = K,(x+2)^2,
onde K=e^C' é constante arbitrária.

Resposta

Tipo de equação: EDO de primeira ordem e variáveis separáveis.
Solução geral (implícita):
y^2-1 = C,(x+2)^2,
ou explicitamente
y = pmraiz,1 + C,(x+2)^2,,
com C constante arbitrária.

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