Teste a série quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty cos n

Passo 1

O enunciado nos pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty cos n
O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e, em particular, o teste do termo geral.

Passo 2

Lembrando o teste do termo geral: se
sumn=1^infty an
converge então é necessário que
limntoinftyan=0
Se esse limite não for zero (ou não existir), a série diverge.

Passo 3

Aqui an=cos n. O limite
limntoinftycos n
não existe, pois cos n oscila entre -1 e 1 (por exemplo, para nk=2pi k temos cos nk=1 e para mk=pi+2pi k temos cos mk=-1). Em particular não tende a zero.
Portanto, pela falha da condição necessária, a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftycos n diverge.

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