Resolva os problemas de valor inicial
ly^2 d x+(x^2+x y+y^2) d y=0 y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de equação diferencial com uma condição inicial:
y^2 dx + (x^2 + x y + y^2) dy = 0 y(0) = 1
Vamos resolver isso passo a passo. O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e alguns conceitos de funções homogêneas. Vamos precisar identificar se a equação é exata ou não e, se não for, encontrar uma forma de simplificá-la para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se essa equação é exata. Uma equação diferencial da forma M dx + N dy = 0 é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x :
partial Mpartial y = partial Npartial x
Aqui, M = y^2 e N = x^2 + x y + y^2 . Calculando as derivadas:
partial Mpartial y = 2y
partial Npartial x = 2x + y
Como 2y neq 2x + y , a equação não é exata. Isso significa que precisamos encontrar uma maneira de torná-la exata ou usar outra técnica para resolver.

Passo 3

Observando a equação, percebemos que tanto M quanto N são funções homogêneas de grau 2 (ou seja, se multiplicarmos x e y por um fator lambda , toda a expressão é multiplicada por lambda^2 ). Isso sugere que podemos usar a substituição homogênea para simplificar a equação.
Vamos fazer a seguinte substituição:
v = yx Rightarrow y = v x
Agora, precisamos encontrar dy em termos de dv e dx :
dy = v dx + x dv

Passo 4

Substituindo y = v x e dy = v dx + x dv na equação original:
y^2 dx + (x^2 + x y + y^2)(v dx + x dv) = 0
Vamos substituir y por v x :
(v x)^2 dx + (x^2 + x (v x) + (v x)^2)(v dx + x dv) = 0
Simplificando:
v^2 x^2 dx + (x^2 + v x^2 + v^2 x^2)(v dx + x dv) = 0
Fatorando x^2 :
v^2 x^2 dx + x^2 (1 + v + v^2)(v dx + x dv) = 0
Dividindo tudo por x^2 (já que x neq 0 ):
v^2 dx + (1 + v + v^2)(v dx + x dv) = 0
Distribuindo:
v^2 dx + v(1 + v + v^2) dx + (1 + v + v^2) x dv = 0
Reunindo os termos de dx e dv :
(v^2 + v + v^2 + v^3) dx + (1 + v + v^2) x dv = 0
Simplificando:
(v^2 + v + v^2 + v^3) dx = (2v^2 + v + v^3) dx
Então:
(2v^2 + v + v^3) dx + (1 + v + v^2) x dv = 0

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar dv/dx :
(1 + v + v^2) x dvdx = - (2v^2 + v + v^3)
Dividindo ambos os lados por (1 + v + v^2) x :
dvdx = - 2v^2 + v + v^3(1 + v + v^2) x
Podemos simplificar a fração no lado direito:
dvdx = - v (2v + 1 + v^2)(1 + v + v^2) x
Perceba que 1 + v + v^2 não cancela direta com 2v + 1 + v^2 , então precisamos reconsiderar nossa abordagem. Vamos verificar se podemos simplificar de outra forma.

Passo 6

Vamos voltar à substituição v = yx e reescrever a equação original de forma diferente. A equação original é:
y^2 dx + (x^2 + x y + y^2) dy = 0
Dividindo ambos os lados por x^2 :
(yx)^2 dx + (1 + yx + (yx)^2) dy = 0
Substituindo v = yx e dy = v dx + x dv :
v^2 dx + (1 + v + v^2)(v dx + x dv) = 0
Distribuindo novamente:
v^2 dx + v(1 + v + v^2) dx + (1 + v + v^2) x dv = 0
Simplificando:
v^2 dx + v dx + v^2 dx + v^3 dx + (1 + v + v^2) x dv = 0
Agrupando os termos de dx :
(2v^2 + v + v^3) dx + (1 + v + v^2) x dv = 0
Agora, podemos isolar dv/dx :
dvdx = - 2v^2 + v + v^3(1 + v + v^2) x
Ainda estamos com uma equação complicada, então vamos tentar outra abordagem. Vamos verificar se a equação pode ser separável.

Passo 7

Vamos tentar reorganizar a equação para separarmos as variáveis v e x :
dvdx = - v (2v + 1 + v^2)(1 + v + v^2) x
Dividindo ambos os lados por v :
1v dvdx = - 2v + 1 + v^2(1 + v + v^2) x
Agora, podemos separar as variáveis:
1 + v + v^22v + 1 + v^2 1v dv = - 1x dx
Vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
1 + v + v^2v (2v + 1 + v^2) dv = - 1x dx
Ainda parece complicado, então vamos tentar dividir o numerador pelo denominador:
1 + v + v^2v (2v + 1 + v^2) = 1 + v + v^2v (v^2 + 2v + 1) = 1 + v + v^2v (v + 1)^2
Note que v^2 + 2v + 1 = (v + 1)^2 . Agora, podemos reescrever a fração:
1 + v + v^2v (v + 1)^2 = v^2 + v + 1v (v + 1)^2
Vamos tentar decompor essa fração em frações parciais.

Passo 8

Para decompor em frações parciais, assumimos que:
Multiplicando ambos os lados por [v (v + 1)^2):
Expandindo os termos do lado direito:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos de , e o termo constante:
Resolvendo o sistema:
  • Da terceira equação, .
    - Substituindo e na segunda equação: .
Então, a decomposição fica:

Passo 9

Agora, voltamos à equação separada e substituímos a fração:
( 1v - 1(v + 1)^2 ) dv = - 1x dx
Vamos integrar ambos os lados:
integral ( 1v - 1(v + 1)^2 ) dv = - integral 1x dx
Integrando:
ln |v| + 1v + 1 = - ln |x| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 10

Agora, queremos resolver para v . Vamos reorganizar a equação:
ln |v| + 1v + 1 + ln |x| = C
Podemos combinar os logaritmos:
ln |v x| + 1v + 1 = C
Para simplificar, podemos reescrever C como ln K , onde K é uma constante positiva:
ln |v x| + 1v + 1 = ln K
Então:
ln |v x| = ln K - 1v + 1
Elevando ambos os lados à potência e :
v x = K e^- 1v + 1

Passo 11

Lembrando que v = yx , substituímos de volta:
yx cdot x = K e^- 1yx + 1 Rightarrow y = K e^- xy + x
Essa é a solução implícita da equação diferencial. Para encontrar a constante K , usamos a condição inicial y(0) = 1 .

Passo 12

Aplicando a condição inicial y(0) = 1 :
1 = K e^- 01 + 0 Rightarrow 1 = K e^0 Rightarrow K = 1

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial y(0) = 1 é dada implicitamente por:
y = e^- xy + x
Essa é a forma da solução que satisfaz o problema proposto.

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