Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
(a x^2+b)^12 y^prime-x y^3=0
a, b in R, a neq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
raiza x^2+b;y' - x,y^3=0,
onde a,binR e aneq0.
Conteúdo: é uma EDO de primeira ordem e variáveis separáveis; vamos usar separação de variáveis e integração direta.

Passo 2

Colocando em forma de derivada, temos
raiza x^2+b,dydx=x,y^3 Longrightarrow dydx=x,y^3raiza x^2+b

Passo 3

Agora separam-se as variáveis y e x:
dyy^3=xraiza x^2+b,dx
Em seguida, aplicamos a integração em ambos os lados.

Passo 4

Integramos:
integral y^-3,dy = integral xraiza x^2+b,dx
No lado esquerdo
integral y^-3,dy = -12,y^2
No lado direito, faça u=a x^2+b, então du=2a,x,dx e
integral xraiza x^2+b,dx =12aintegral u^-tfrac12du =1araizu+C =1araiza x^2+b+C
Logo, após integrar, obtemos
-12,y^2 =1araiza x^2+b+C

Passo 5

Multiplicando por -2 e reagrupando a constante, definindo C1=-2C, dá
1y^2 =-2araiza x^2+b+C1

Passo 6

Invertendo para isolar y, escrevemos
y^2=1,C1-2araiza x^2+b, Longrightarrow y(x)=pm1raiz,C1-2araiza x^2+b,

Resposta

y(x)=pm1raiz,C1-2araiza x^2+b,,
onde C1 é constante arbitrária.

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