Usando o método dos coeficientes indeterminados, encontre a solução geral das equações diferenciais dadas.
u^prime prime+omega0^2 u=cos omega t, omega^2 neq omega0^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver por coeficientes indeterminados a equação diferencial linear não– homogênea
u''(t) + omega0^2,u(t) = cos(omega t),
supondo omega^2neqomega0^2. Vamos precisar (i) encontrar a solução geral da parte homogênea e (ii) um particular para o termo cos(omega t).

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea
u'' + omega0^2u = 0
A equação característica é
r^2 + omega0^2 = 0 Longrightarrow r = pm i,omega0
Logo a solução homogênea é
uh(t) = A cos(omega0t) + B sin(omega0t),
com A e B constantes arbitrárias.

Passo 3

Para achar um particular, assumimos um palpite do tipo
up(t) = Ccos(omega t) + Dsin(omega t),
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de up:
up''(t) = -C,omega^2cos(omega t) - D,omega^2sin(omega t)
Substituindo em u''+omega0^2u=cos(omega t), obtemos
l(-Comega^2+Comega0^2r)cos(omega t) +l(-Domega^2+Domega0^2r)sin(omega t) =cos(omega t)

Passo 5

Comparando coeficientes de cos(omega t) e sin(omega t), chega-se ao sistema
C,(omega0^2-omega^2) = 1, D,(omega0^2-omega^2) = 0
Como omega0^2neqomega^2, segue
C = 1omega0^2-omega^2, D = 0
Assim
up(t) = cos(omega t)omega0^2-omega^2

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
u(t) = Acos(omega0t) + Bsin(omega0t) + cos(omega t)omega0^2-omega^2

Resposta

u(t) = Acos(omega0t) + Bsin(omega0t) + cos(omega t)omega0^2-omega^2,
com A e B constantes arbitrárias.

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