Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
(a y^2+b)^12 y^prime-x y y^prime=0
a, b in R, a neq 0

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo de equação e encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial de primeira ordem:
l(a,y^2+br)^tfrac12,y' ;-; x,y,y' ;=;0,
onde a,binR e aneq0.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, análise de fatores e soluções singulares.

Passo 2

Observe que podemos fatorar y' na equação:
l(raiza,y^2+b-x,yl),y'=0
Isso mostra que é uma equação degenerada (ou singular) de primeira ordem, pois o produto de dois fatores é zero. Cada fator gera uma “ramificação” de soluções.

Passo 3

Primeiro caso:
y'=0
Integrando, obtemos as soluções constantes
y(x)=C,
com CinR arbitrário.

Passo 4

Segundo caso (não trivial):
raiza,y^2+b-x,y=0 Longrightarrow x,y=raiza,y^2+b,
válido para yneq0.

Passo 5

Elevando ao quadrado ambos os lados:
x^2,y^2=a,y^2+b Longrightarrow (x^2-a),y^2=b Longrightarrow y^2=b,x^2-a,
Logo,
y(x)=pmraizb,x^2-a,,
com domínio em que x^2neq a e b/(x^2-a)>=0.

Resposta

A equação é uma ODE singular de primeira ordem cujo fator y' se anula ou leva a uma condição algébrica. As soluções gerais são:
y(x)=C, CinR,
e
y(x)=pmraizb,x^2-a,,
com domínio compatível com x^2neq a e b/(x^2-a)>=0.

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