Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o tipo de equação e encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial de primeira ordem:
onde
e
.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, análise de fatores e soluções singulares.
Conteúdo: equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, análise de fatores e soluções singulares.
Passo 2
Observe que podemos fatorar
na equação:
Isso mostra que é uma equação degenerada (ou singular) de primeira ordem, pois o produto de dois fatores é zero. Cada fator gera uma “ramificação” de soluções.
Passo 3
Primeiro caso:
Integrando, obtemos as soluções constantes
com
arbitrário.
Passo 4
Segundo caso (não trivial):
válido para
.
Passo 5
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Logo,
com domínio em que
e
.
Resposta
A equação é uma ODE singular de primeira ordem cujo fator
se anula ou leva a uma condição algébrica. As soluções gerais são:
e
com domínio compatível com
e
.