Resolva as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial homogênea de ordem 4. Para resolver, vamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos cada derivada de
por
elevado ao índice da derivada:
Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica
. Podemos fatorar
em comum:
Isso nos dá duas partes para resolver:
-
⇒ (duas vezes) -
Passo 4
Vamos resolver a segunda parte da equação característica
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, as soluções são raízes complexas:
Passo 5
Agora, juntando todas as raízes encontradas:
- Duas raízes reais iguais a
- Duas raízes complexas
e
Passo 6
Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais repetidas, incluímos termos como
e
. Para raízes complexas
, usamos a forma
.
Passo 7
Aplicando isso às nossas raízes:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.