Resolva as seguintes equações diferenciais:
y^(4)+y^(3)+y^prime prime=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y^(4) + y^(3) + y'' = 0 . Essa é uma equação diferencial homogênea de ordem 4. Para resolver, vamos usar o método das equações características, que nos ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos montar a equação característica associada à equação diferencial. Para isso, substituímos cada derivada de y por r elevado ao índice da derivada:
y^(4) r^4
y^(3) r^3
y'' r^2
Assim, a equação característica fica:
r^4 + r^3 + r^2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica r^4 + r^3 + r^2 = 0 . Podemos fatorar r^2 em comum:
r^2 (r^2 + r + 1) = 0
Isso nos dá duas partes para resolver:
  1. r^2 = 0 r = 0 (duas vezes)
  2. r^2 + r + 1 = 0

Passo 4

Vamos resolver a segunda parte da equação característica r^2 + r + 1 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, a = 1 , b = 1 e c = 1 . Substituindo:
r = -1 pm raiz1 - 4 2 = -1 pm raiz-3 2 = -1 pm iraiz3 2
Então, as soluções são raízes complexas:
r = -12 pm raiz32i

Passo 5

Agora, juntando todas as raízes encontradas:
  • Duas raízes reais iguais a r = 0
  • Duas raízes complexas r = -12 + raiz32i e r = -12 - raiz32i

Passo 6

Com essas raízes, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Para raízes reais repetidas, incluímos termos como C1 e C2x . Para raízes complexas alpha pm beta i , usamos a forma e^alpha x (C3 cos(beta x) + C4 sin(beta x)) .

Passo 7

Aplicando isso às nossas raízes:
  • Para r = 0 :
C1
C2 x
  • Para r = -12 pm raiz32i :
e^ -12 x ( C3 cos( raiz32 x ) + C4 sin( raiz32 x ) )

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 + C2 x + e^ -12 x ( C3 cos( raiz32 x ) + C4 sin( raiz32 x ) )
onde C1, C2, C3 e C4 são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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