Dado um circuito RLC com L=5 / 3 H, R=10 Omega, C=1 / 30 F, V(t)=300 V, com carga inicial q(0)=0 C e corrente inicial i(0)=2 A. Encontre a carga no capacitor q(t) e a corrente i(t) para qualquer instante t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC submetido a uma tensão constante V(t)=300 V. Temos L=tfrac53 H, R=10 Omega, C=tfrac130 F, carga inicial q(0)=0 e corrente inicial i(0)=2 A. O objetivo é achar a carga q(t) e a corrente i(t)=q'(t) resolvendo a equação diferencial de segunda ordem:
L,q''(t)+R,q'(t)+1C,q(t)=V(t)

Passo 2

Escrevendo a equação com os valores dados obtemos
53,q''(t)+10,q'(t)+30,q(t)=300
Primeiro achamos a solução homogênea. A equação característica é
53r^2+10r+30=0 Longrightarrow 5r^2+30r+90=0 Longrightarrow r^2+6r+18=0
As raízes são
r=-3pm 3i,
logo a solução homogênea é
qh(t)=e^-3tl(Acos(3t)+Bsin(3t)r)

Passo 3

Como a entrada é constante, tentamos uma solução particular constante qp(t)=Q. Substituindo em
53,Q''+10,Q'+30,Q=300
vemos que Q''=Q'=0, então
30,Q=300 Longrightarrow Q=10
Logo a solução geral é
q(t)=10+e^-3tl(Acos(3t)+Bsin(3t)r)

Passo 4

Usamos as condições iniciais q(0)=0 e q'(0)=i(0)=2.
Para t=0:
q(0)=10+A=0 Longrightarrow A=-10
Derivando
q'(t)=e^-3tl((3B-3A)cos(3t)+(-3B-3A)sin(3t)r),
então em t=0:
q'(0)=3(B-A)=2 Longrightarrow B-A=tfrac23 Longrightarrow B=-tfrac283

Resposta

q(t)=10+e^-3tl(-10cos(3t)-tfrac283sin(3t)r),
i(t)=q'(t) =e^-3tl(2cos(3t)+58sin(3t)r)

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