Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
2 x y-sen x+(x^2+e^y) d yd x=0

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
2xy - sin x + l(x^2 + e^yr),dydx = 0
O conteúdo aqui é identificar que tipo de EDO é e resolver pela condição de exatidão, ou seja, escrever na forma
M(x,y) + N(x,y),dydx=0
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2xy - sin x, N(x,y) = x^2 + e^y
Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 2x, partial Npartial x = 2x
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y) = 2xy - sin x
Integrando em x:
Psi(x,y) = integral (2xy - sin x),dx = x^2y + cos x + h(y),
em que h(y) é uma função só de y.

Passo 4

Para achar h(y), impomos
partial Psipartial y = x^2 + h'(y) stackrel!= N(x,y) = x^2 + e^y
Logo
h'(y) = e^y Longrightarrow h(y) = e^y

Passo 5

Substituindo em Psi, obtemos a solução geral implícita
Psi(x,y) = x^2y + cos x + e^y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^2y + cos x + e^y = C

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