Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e usaremos o teste da razão para determinar onde ela converge.
Passo 2
Defina o termo geral
Pelo teste da razão, calculemos
Passo 3
O teste da razão diz que a série converge se L<1. Logo
5,|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac15
Isso mostra que o raio de convergência é
R = tfrac15
e, a princípio, o intervalo de convergência é (-1/5,,1/5).
Passo 4
Faltam os extremos x=pmtfrac15:
a) Se x = tfrac15, o termo geral vira an=n, que não tende a zero, logo a série diverge.
b) Se x = -tfrac15, o termo geral é an=n(-1)^n, cujo módulo cresce sem limite e não tende a zero, então também diverge.
Resposta
Raio de convergência: R = tfrac15.
Intervalo de convergência: l(-tfrac15,,tfrac15r).