Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty n 5^n x^n

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
sumn=1^infty n,5^nx^n
e pede o raio de convergência e o intervalo de convergência. O conteúdo é séries de potências e usaremos o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

Defina o termo geral
an = n,5^nx^n
Pelo teste da razão, calculemos
L = limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(n+1),5^,n+1x^,n+1n,5^nx^n| =limntoinftyn+1n,5,|x| =5,|x|

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se L<1. Logo
5,|x|<1 Longrightarrow |x|<tfrac15
Isso mostra que o raio de convergência é
R = tfrac15
e, a princípio, o intervalo de convergência é (-1/5,,1/5).

Passo 4

Faltam os extremos x=pmtfrac15:
a) Se x = tfrac15, o termo geral vira an=n, que não tende a zero, logo a série diverge.
b) Se x = -tfrac15, o termo geral é an=n(-1)^n, cujo módulo cresce sem limite e não tende a zero, então também diverge.

Resposta

Raio de convergência: R = tfrac15.
Intervalo de convergência: l(-tfrac15,,tfrac15r).

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