Seja
f(x, y)=cc x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Prove que fx e fy existem em todo ponto, mas não são contínuas em todo ponto.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracxyx^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0),
e pede para provar que as derivadas parciais fx e fy existem em todo ponto de R^2, mas que elas não são contínuas em todo ponto (em particular em (0,0)).
Conteúdo necessário: definição de derivada parcial por limite, cálculo de derivadas de quociente para (x,y)neq(0,0) e estudo de limite de uma função de duas variáveis para testar continuidade.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), f é quociente de funções polinomiais em x,y com denominador diferente de zero. Como polinomiais são C^infty e o denominador não anula, f é C^infty em (x,y)neq(0,0). Logo, fx e fy existem em todo ponto com (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Em (0,0) usamos a definição de derivada parcial. Por exemplo,
fx(0,0) =limhto 0f(0+h,0)-f(0,0)h =limhto 0,0,h=0
Analogamente,
fy(0,0) =limkto 0f(0,0+k)-f(0,0)k =limkto 0,0,k=0
Logo, fx(0,0)=fy(0,0)=0.

Passo 4

Vamos obter uma fórmula geral para fx em (x,y)neq(0,0). Escrevendo
f(x,y)=xyx^2+y^2,
usamos a regra do quociente:
fx =(y)(x^2+y^2)-(xy)(2x)(x^2+y^2)^2 =yx^2+y^3-2x^2y(x^2+y^2)^2 =y,(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2

Passo 5

Para testar a continuidade de fx em (0,0), olhamos o limite de fx(x,y) quando (x,y)to(0,0). Se escolhermos a reta y=mx com mneqpm1, temos
fx(x,mx) =(mx)l((mx)^2-x^2r)l(x^2+(mx)^2r)^2 =m,(m^2-1),x^3l(1+m^2r)^2,x^4 =m,(m^2-1)(1+m^2)^2,1x
Esse valor tende a pminfty quando xto0, logo o limite não existe (nem é zero). Como fx(0,0)=0, concluímos que fx não é contínua em (0,0).

Passo 6

De modo análogo, para (x,y)neq(0,0) obtém-se
fy(x,y) =x,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2,
e o mesmo teste pela reta y=mx mostra que fy(x,y) também não converge a 0=fy(0,0) quando (x,y)to(0,0). Logo, fy não é contínua em (0,0).

Passo 7

Conclusão: as derivadas parciais existem em todo ponto de R^2 (pois em (x,y)neq(0,0) a função é C^infty e em (0,0) os limites de definição dão zero), mas nem fx nem fy são contínuas em (0,0).

Resposta

As derivadas parciais existem em todo ponto, com
fx(0,0)=fy(0,0)=0,
mas ambas falham em ser contínuas em (0,0).

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