Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=0^infty n x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty n x^n
O conteúdo principal aqui é teste da razão para séries de potências e análise nos extremos x=pm R.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja an = n x^n. Então
|an+1||an| = (n+1),|x|^,n+1n,|x|^n = n+1n,|x|
Tomando limite quando ntoinfty, obtemos
L = limntoinfty|an+1||an| = |x|

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se L<1, isto é
|x|<1
Logo o raio de convergência é
R = 1

Passo 4

Agora testamos os extremos do intervalo [-1,1]:
Para x=1, a série fica
sumn=0^infty n,
que diverge pois os termos não tendem a zero.
Para x=-1, a série é
sumn=0^infty n(-1)^n
Também diverge porque limntoinftyn(-1)^n não é zero.
Portanto, não há convergência em x=pm1.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)

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