Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
x+y+x ln x d yd x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x + y + x ln x ,dydx = 0
e pede para identificar o tipo de equação e encontrar a solução geral. Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem.

Passo 2

Vamos pôr em forma linear padrão, isto é, dy/dx + P(x),y = Q(x). Primeiro isolamos dy/dx:
x ln x ,dydx + y + x = 0 ;;Longrightarrow;; dydx + 1xln x,y = -1ln x

Passo 3

Para uma equação linear dydx+P(x)y=Q(x), o fator integrante é
mu(x)=expl(integral P(x),dxr) =expl(integral 1xln x,dxr)
Fazendo u=ln x, du=dx/x, temos
integral 1xln x,dx = integral 1u,du = ln|u| = ln(ln x)
Logo
mu(x)=expl(ln(ln x)r)=ln x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=ln x:
ln x,dydx + 1x,y = -1
O lado esquerdo é exatamente a derivada de yln x, pois
ddxl(yln xr) =y'ln x + y,(1/x)
Então
ddxl(yln xr) = -1 ;Longrightarrow; yln x = -x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Bastou isolar y:
y = -x + Cln x =C - xln x

Resposta

Tipo: equação diferencial linear de primeira ordem.
Solução geral:
y(x) = C - xln x,
com C constante arbitrária.

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