Encontre a função
se
e
.
Passo 1
Beleza, o exercício quer a gente achar a função $ f(x) $ sabendo que sua derivada é $ f^{\prime}(x) = e^{x} - \frac{20}{1+x^{2}} $ e que $ f(0) = -2 $. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, pra achar $ f(x) $ a partir de $ f^{\prime}(x) $, precisamos integrar $ f^{\prime}(x) $ em relação a $ x $. A ideia é que a função original é a antiderivada da derivada.
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos descobrir usando a condição inicial.
Passo 3
Vamos integrar cada termo da derivada separadamente:
- A integral de $ e^{x} $ é bem direta:
- Agora, a integral de $ \frac{20}{1+x^{2}} $ é um pouco diferente, mas a gente lembra que:
Então, multiplicando por 20:
Passo 4
Juntando as integrais que calculamos:
Aqui, $ C $ é a constante que vai juntar os $ C_1 $ e $ C_2 $, mas vamos determinar ela no próximo passo.
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = -2 $ para achar $ C $. Vamos substituir $ x = 0 $ na nossa função:
Segundo o enunciado, isso deve ser igual a -2:
Passo 6
Resolvendo para $ C $:
Resposta
Então, a função que a gente estava procurando é: