Encontre a função f(x) se f^prime(x)=e^x-201+x^2 e f(0)=-2.

Passo 1

Beleza, o exercício quer a gente achar a função $ f(x) $ sabendo que sua derivada é $ f^{\prime}(x) = e^{x} - \frac{20}{1+x^{2}} $ e que $ f(0) = -2 $. Vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, pra achar $ f(x) $ a partir de $ f^{\prime}(x) $, precisamos integrar $ f^{\prime}(x) $ em relação a $ x $. A ideia é que a função original é a antiderivada da derivada.
f(x)
Aqui, $ C $ é a constante de integração que vamos descobrir usando a condição inicial.

Passo 3

Vamos integrar cada termo da derivada separadamente:
  1. A integral de $ e^{x} $ é bem direta:
e^x
  1. Agora, a integral de $ \frac{20}{1+x^{2}} $ é um pouco diferente, mas a gente lembra que:
integral e^x , dx = e^x + C1
Então, multiplicando por 20:
201+x^2

Passo 4

Juntando as integrais que calculamos:
f(x) = e^x - 20 arctan(x) + C
Aqui, $ C $ é a constante que vai juntar os $ C_1 $ e $ C_2 $, mas vamos determinar ela no próximo passo.

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial $ f(0) = -2 $ para achar $ C $. Vamos substituir $ x = 0 $ na nossa função:
f(0) = -2
Segundo o enunciado, isso deve ser igual a -2:
C

Passo 6

Resolvendo para $ C $:
C

Resposta

Então, a função que a gente estava procurando é:
f(x) = e^x - 20 arctan(x) - 3

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