Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^prime prime+y^prime-2 y=t, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + y' - 2y = t,
com
y(0)=1, y'(0)=0
Vamos usar o método de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: obter a solução geral homogênea yh, encontrar uma solução particular yp por coeficientes indeterminados e, em seguida, determinar as constantes via condições iniciais.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada
y'' + y' - 2y = 0
A equação característica é
r^2 + r - 2 = 0
Suas raízes são
r = -1 pm raiz1 + 82 = -1 pm 32,
ou seja, r1=1 e r2=-2. Logo a solução homogênea é
yh(t) = C1,e^t + C2,e^-2t

Passo 3

Buscar uma solução particular para o termo não homogêneo t. Como é um polinômio de grau 1, suponha
yp(t) = a,t + b
Então
yp'(t)=a, yp''(t)=0
Substituindo em y'' + y' -2y = t:
0 + a - 2l(a,t + br) = t ;Longrightarrow; a - 2a,t - 2b = t
Igualando coeficientes:
-2a = 1 Rightarrow a = -tfrac12,
a - 2b = 0 Rightarrow b = tfraca2 = -tfrac14
Portanto
yp(t) = -tfrac12,t - tfrac14

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1,e^t + C2,e^-2t - tfrac12,t - tfrac14
Derivando:
y'(t) = C1,e^t - 2C2,e^-2t - tfrac12

Passo 5

Aplicar as condições iniciais em t=0:
y(0) = C1 + C2 - tfrac14 = 1 Longrightarrow C1 + C2 = tfrac54,
y'(0) = C1 - 2C2 - tfrac12 = 0 Longrightarrow C1 - 2C2 = tfrac12
Resolvendo o sistema
C1 + C2 = tfrac54, C1 - 2C2 = tfrac12,
subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se
3C2 = tfrac34 Rightarrow C2 = tfrac14,
e então
C1 = tfrac54 - tfrac14 = 1

Resposta

y(t) = e^t + tfrac14,e^-2t ;-; tfrac12,t ;-; tfrac14

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