Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
com
Vamos usar o método de equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes: obter a solução geral homogênea
, encontrar uma solução particular
por coeficientes indeterminados e, em seguida, determinar as constantes via condições iniciais.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada
A equação característica é
Suas raízes são
ou seja,
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Buscar uma solução particular para o termo não homogêneo
. Como é um polinômio de grau 1, suponha
Então
Substituindo em
:
Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 4
A solução geral é
Derivando:
Passo 5
Aplicar as condições iniciais em
:
Resolvendo o sistema
subtraindo a segunda equação da primeira obtém-se
e então