Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
2(x y^2-1x^3)+(2 x^2 y-1y^2) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar o tipo da equação diferencial
2l(xy^2-tfrac1x^3r)+l(2x^2y-tfrac1y^2r)dydx=0
e encontrar a solução geral. Isso cai em Equações Diferenciais de Equações Exatas: vamos verificar se é exata e, em caso positivo, achar uma função potencial cujo diferencial total zere.

Passo 2

Definimos
$$M(x,y)=2\Bigl(xy2-\tfrac{1}{x3}\Bigr)=2xy2-2x{-3},\quad N(x,y)=2x2y-y{-2}.
M(x,y)=2l(xy^2-tfrac1x^3r)=2xy^2-2x^-3, N(x,y)=2x^2y-y^-2 \frac{\partial M}{\partial y}=4xy,\qquad \frac{\partial N}{\partial x}=4xy.
$$
Como partial Mpartial y=4xy, partial Npartial x=4xy , a equação é exata.

Passo 3

Para construir a função potencial Φ(x,y) tal que
partial Φpartial x=M(x,y), partial Φpartial y=N(x,y),
integral de M em relação a x:
$$
Φ(x,y)=\int(2xy2-2x{-3}),dx = x2y2 + x^{-2} + h(y),
$$
onde Φ(x,y)=integral(2xy^2-2x^-3),dx = x^2y^2 + x^-2 + h(y), é função a determinar.

Passo 4

Agora diferenciamos Φ em relação a y e igualamos a N:
partial Φpartial y=2x^2y + h'(y) stackrel!= 2x^2y - y^-2
Logo
$$h’(y) = -y^{-2} \implies h(y)=y^{-1} + C_1.
$$

Passo 5

Portanto a função potencial completa é
Φ(x,y)=x^2y^2 + x^-2 + y^-1
A solução geral implícita fica
x^2y^2 + 1x^2 + 1y = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x2y2 + 1/x^2 + 1/y = C

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