Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o tipo da equação diferencial
e encontrar a solução geral. Isso cai em Equações Diferenciais de Equações Exatas: vamos verificar se é exata e, em caso positivo, achar uma função potencial cujo diferencial total zere.
Passo 2
Definimos
$$M(x,y)=2\Bigl(xy2-\tfrac{1}{x3}\Bigr)=2xy2-2x{-3},\quad N(x,y)=2x2y-y{-2}.
$$
Como , a equação é exata.
Como
Passo 3
Para construir a função potencial
tal que
integral de
$$
Φ(x,y)=\int(2xy2-2x{-3}),dx = x2y2 + x^{-2} + h(y),
$$
onde é função a determinar.
onde
Passo 4
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Logo
$$h’(y) = -y^{-2} \implies h(y)=y^{-1} + C_1.
$$
Passo 5
Portanto a função potencial completa é
A solução geral implícita fica
com
constante arbitrária.
Resposta
x2y2 + 1/x^2 + 1/y = C