Uma particula move-se em uma reta e tem aceleração dada por a(t)=6 t+4. Sua velocidade inicial é v(0)=-6 cm / s, e seu deslocamento inicial é s(0)=9 m. Encontre a função s(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A gente tem uma partícula que está se movendo em uma linha reta com uma aceleração que varia com o tempo, dada por a(t) = 6t + 4 . Além disso, sabemos que a velocidade inicial dessa partícula é v(0) = -6 , cm/s e o deslocamento inicial é s(0) = 9 , m . Nosso objetivo é encontrar a função que descreve o deslocamento da partícula ao longo do tempo, ou seja, s(t) .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática, especificamente integrando a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrando a velocidade para encontrar o deslocamento. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade v(t) . Sabemos que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, para encontrar v(t) , precisamos integrar a aceleração a(t) com respeito ao tempo.
A equação da aceleração é:
a(t) = 6t + 4
Integrando a(t) para encontrar v(t) :
v(t) = integral a(t) , dt = integral (6t + 4) , dt
Realizando a integração term por termo:
v(t) = 6 integral t , dt + 4 integral 1 , dt
v(t) = 6 ( t^22 ) + 4t + C1
v(t) = 3t^2 + 4t + C1
Agora, usamos a condição inicial v(0) = -6 , cm/s para encontrar a constante de integração C1 :
v(0) = 3(0)^2 + 4(0) + C1 = -6
C1 = -6
Então, a função da velocidade é:
v(t) = 3t^2 + 4t - 6

Passo 3

Agora que temos a função da velocidade v(t) , vamos encontrar a função do deslocamento s(t) . A velocidade é a derivada do deslocamento, então para encontrar s(t) , precisamos integrar v(t) com respeito ao tempo.
A equação da velocidade é:
v(t) = 3t^2 + 4t - 6
Integrando v(t) para encontrar s(t) :
s(t) = integral v(t) , dt = integral (3t^2 + 4t - 6) , dt
Realizando a integração termo por termo:
s(t) = 3 integral t^2 , dt + 4 integral t , dt - 6 integral 1 , dt
s(t) = 3 ( t^33 ) + 4 ( t^22 ) - 6t + C2
s(t) = t^3 + 2t^2 - 6t + C2
Agora, usamos a condição inicial s(0) = 9 , m para encontrar a constante de integração C2 :
s(0) = (0)^3 + 2(0)^2 - 6(0) + C2 = 9
C2 = 9

Resposta

A função que descreve o deslocamento da partícula ao longo do tempo é:
s(t) = t^3 + 2t^2 - 6t + 9

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