Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
(1+x^2) d yd x-x y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar o tipo da equação diferencial dada e encontrar a solução geral dela. A equação é:
(1 + x^2) dydx - x y = 0
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver esse tipo de equação para achar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la numa forma mais familiar. Queremos isolar dydx:
(1 + x^2) dydx = x y
Dividindo ambos os lados por (1 + x^2), temos:
dydx = x1 + x^2 y

Passo 3

Agora, observamos que a equação está na forma:
dydx = P(x) y
onde P(x) = x1 + x^2. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem e também pode ser resolvida como uma equação separável.

Passo 4

Vamos resolver a equação usando a técnica de separação de variáveis. Primeiro, reescrevemos a equação para separar y de x:
dyy = x1 + x^2 dx

Passo 5

Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
integral 1y dy = ln|y| + C1
E a integral do lado direito é:
integral x1 + x^2 dx
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = 1 + x^2, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx.
Substituindo na integral:
integral x1 + x^2 dx = 12 integral 1u du = 12 ln|u| + C2 = 12 ln|1 + x^2| + C2

Passo 6

Agora, juntando os resultados das integrais:
ln|y| = 12 ln|1 + x^2| + C
Onde C = C2 - C1 é uma constante geral.

Passo 7

Para resolver para y, exponenciamos ambos os lados da equação:
y = e^12 ln|1 + x^2| + C = e^C cdot e^12 ln|1 + x^2|
Sabendo que e^C é apenas uma constante qualquer, podemos chamar de K. Além disso, e^12 ln|1 + x^2| = (1 + x^2)^1/2.
Então:
y = K raiz1 + x^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = K raiz1 + x^2
onde K é uma constante arbitrária.

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