Em cada um dos itens abaixo identifique qual o tipo de equação e encontre a solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente identificar o tipo da equação diferencial dada e encontrar a solução geral dela. A equação é:
Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares e como resolver esse tipo de equação para achar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para deixá-la numa forma mais familiar. Queremos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, observamos que a equação está na forma:
onde
. Esse tipo de equação é chamada de equação diferencial linear de primeira ordem e também pode ser resolvida como uma equação separável.
Passo 4
Vamos resolver a equação usando a técnica de separação de variáveis. Primeiro, reescrevemos a equação para separar
de
:
Passo 5
Agora, vamos integrar os dois lados da equação. A integral do lado esquerdo é:
E a integral do lado direito é:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, juntando os resultados das integrais:
Onde
é uma constante geral.
Passo 7
Para resolver para
, exponenciamos ambos os lados da equação:
Sabendo que
é apenas uma constante qualquer, podemos chamar de
. Além disso,
.
Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.