Encontre uma representação em série de potência para a função
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar uma representação em série de potência para a função
. Para isso, vamos utilizar o conceito de séries de potência, especialmente a série geométrica, que nos permite expressar funções como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a forma padrão da série geométrica, que é
, onde
é uma expressão envolvendo
. Observamos que:
Passo 3
Agora, identificamos que
. A série geométrica nos diz que:
Essa série converge quando
, ou seja,
, o que simplifica para
.
Passo 4
Aplicando a série geométrica à nossa função, substituímos
por
:
Passo 5
Simplificando os termos da série, temos:
Este é o desenvolvimento em série de potência para a função
.
Resposta
A representação em série de potência para a função
é: