Encontre uma representação em série de potência para a função y=11+x^3.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar uma representação em série de potência para a função y = 11 + x^3 . Para isso, vamos utilizar o conceito de séries de potência, especialmente a série geométrica, que nos permite expressar funções como uma soma infinita de termos envolvendo potências de x .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que se pareça com a forma padrão da série geométrica, que é 11 - r , onde r é uma expressão envolvendo x . Observamos que:
y = 11 + x^3 = 11 - (-x^3)

Passo 3

Agora, identificamos que r = -x^3 . A série geométrica nos diz que:
11 - r = 1 + r + r^2 + r^3 + dots
Essa série converge quando |r| < 1 , ou seja, |-x^3| < 1 , o que simplifica para |x| < 1 .

Passo 4

Aplicando a série geométrica à nossa função, substituímos r por -x^3 :
y = 11 - (-x^3) = 1 + (-x^3) + (-x^3)^2 + (-x^3)^3 + dots

Passo 5

Simplificando os termos da série, temos:
y = 1 - x^3 + x^6 - x^9 + dots
Este é o desenvolvimento em série de potência para a função y = 11 + x^3 .

Resposta

A representação em série de potência para a função y = 11 + x^3 é:
y = sumn=0^infty (-1)^n x^3n = 1 - x^3 + x^6 - x^9 + dots

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