Estudar a convergência da série sumn=1^infty (n-1)!(n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente estudar se a série sumn=1^infty (n-1)!(n+1)! converge ou diverge. Isso tá dentro do conteúdo de séries infinitas, um tópico da Matemática que estuda se somas de termos infinitos têm um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar simplificar os termos da série e aplicar um teste de convergência, tipo o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série: (n-1)!(n+1)!. Sabemos que (n+1)! = (n+1) cdot n!. Então, podemos reescrever o termo assim:
(n-1)!(n+1)! = (n-1)!(n+1) cdot n!
E como n! = n cdot (n-1)!, substituindo:
(n-1)!(n+1) cdot n! = (n-1)!(n+1) cdot n cdot (n-1)! = 1n(n+1)
Então, a série passa a ser sumn=1^infty 1n(n+1).

Passo 3

Agora, vamos analisar a série sumn=1^infty 1n(n+1). Essa é uma série de termos positivos, então podemos usar o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Mas, nesse caso, a série é uma série telescópica e podemos simplificá-la ainda mais.
Podemos decompor 1n(n+1) em frações parciais:
1n(n+1) = 1n - 1n+1

Passo 4

Com a decomposição, a série fica:
sumn=1^infty ( 1n - 1n+1 )
Vamos ver os primeiros termos para identificar o padrão:
(1 - 12) + (12 - 13) + (13 - 14) + dots
Você percebe que muitos termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo e o último que tende a zero.

Passo 5

Calculando a soma parcial até o termo N:
SN = 1 - 1N+1
Agora, vamos calcular o limite quando N to infty:
limN to infty SN = limN to infty (1 - 1N+1) = 1 - 0 = 1

Resposta

A série sumn=1^infty (n-1)!(n+1)! converge, e a soma dela é igual a 1.

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