Estudar a convergência da série
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para a gente estudar se a série
converge ou diverge. Isso tá dentro do conteúdo de séries infinitas, um tópico da Matemática que estuda se somas de termos infinitos têm um valor finito ou não. Para resolver isso, vamos precisar simplificar os termos da série e aplicar um teste de convergência, tipo o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série:
. Sabemos que
. Então, podemos reescrever o termo assim:
E como
, substituindo:
Então, a série passa a ser
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a série
. Essa é uma série de termos positivos, então podemos usar o Teste da Razão ou o Teste da Comparação. Mas, nesse caso, a série é uma série telescópica e podemos simplificá-la ainda mais.
Podemos decompor
em frações parciais:
Passo 4
Com a decomposição, a série fica:
Vamos ver os primeiros termos para identificar o padrão:
Você percebe que muitos termos se cancelam, sobrando apenas o primeiro termo e o último que tende a zero.
Passo 5
Calculando a soma parcial até o termo
:
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Resposta
A série
converge, e a soma dela é igual a 1.